立体几何高考大题及解析（用几何法解2022年新高考2卷立体几何大题第二问）

这是暑期高一复习立体几何时学生问的问题，高一立体几何同步学习中并没有学到向量法，在学三类空间角时用到的全都是几何法，但高一学到或考到的用几何法求解二面角的问题相对简单，其原因在于所给的立体几何很规整，无论用哪种方法求二面角其平面角都很容易找到，但高三不然，高一和高三立体几何二面角的求法最大的区别在于高三数学很难确定出点在平面上的投影位置，高三数学中立体用几何法求几何二面角有三个难点：

1.有可能要求的两个平面的夹角在所给的立体图形中不存在交线，此时需要平移平面或者延展平面使之产生交线。

2.若存在交线，则平面上的一点在另外一个平面上的投影可能不在所给的平面图形内部，此时经常需要将平面延展，而延展的方法有两种，一是将小三角形延展成大三角形，二是根据平行时四点共面，将三角形延展为一组对边平行的四边形。

3.若能找到点在平面的投影，从投影向交线作垂线，连接该点，垂足和投影点后会有一条边长很难求出，此时需借助等面积或割补法等求出边长。

用几何法处理二面角的问题之前有一次推送，推送中的两个题目很好的诠释了以上难点，强烈建议读者先阅读一下，链接为：答疑：高一数学立体几何二面角问题求解示例

这次2022年新高考二卷中的立体几何大题是学生自己找的，即便学生理解能力很不错，但第二问依旧做不出来，我查了一下网上的资源，没有找到用几何法求第二问的图文或视频，但本题对于高三学生来说依旧建议首选向量法，因为这个题目用几何法实在是太难算了.........，先提出一个问题，你知道点C在平面PAB上的投影在哪里吗？

第一问也很不错，大致提一下，当空间几何中出现锥体的高时，这是一个很有价值的信号，因为侧棱在底面上的投影位置都能确定出来，此时会出现若干垂直关系，在第一问中明显需要将线面平行转化为面面平行，题目中给出了中点，也明显会用到中位线，而中位线的第二个中点也盲猜在AB的中点处，设AB中点为D,可知DE//AP,又因为CA⊥AB，只需证明OD⊥AB即可，加之D为AB的中点，所以只需证明OA=OB即可，利用全等很容易证明，过程如下：

题目的难点是第二问，平面AEB可延展为平面PAB，第一个难点在于确定点C在平面PAB上投影的位置，投影点极大概率不在△PAB内部。

根据第一问的平行关系，OD//CA，若从A点作一条直线l与PO平行,可知平面POD与CA和l所成平面β平行，若A点作l'//PD,可知l'一定在平面β内，过C点作CF⊥AF,又因为CF⊥AB，所以CF⊥平面PAB，即F点为点C在平面PAB上的投影点，为了验证自己的猜测也让学生更直观的理解，还专门做了gif演示动图，如下：

其实找到点在面上的投影点后这道题目就完成了大半了，再从投影点向交线作垂线，连接C点,投影点和交线上的垂足，二面角就找到了，接下来在平面中求出FG的长度即可，这个过程很容易理解，但实际求起来数字相当麻烦，有兴趣的可以自己试一下，求解过程如下：

以上解法只是提供几何法找二面角平面角的方法而已，这种方法在高一同步时就应该掌握，现在的高三学生太依赖空间坐标系，几何法忘得差不多了，但不一定几何法就比空间坐标系简单，在本题中几何法的找点过程和求解过程就相当不简单，但在上述链接中新高考1卷中的立体几何求二面角就简单很多了，无他，提个醒不要忘了最基本的几何法就好。