圆锥曲线的基本性质与判定（圆锥曲线的形成及其重要常量）

二次曲线有圆，椭圆，双曲线和抛物线，它们的特殊形式可能是点或直线，在高考中经常会利用其概念或基本定义解决问题。

这些曲线都是通过平面切割圆锥面形成的交线。

当平面平行于圆锥的底面时，交线为圆。

当平面平行于圆锥的母线时，交线为抛物线。

当平面斜交于圆锥时，切面与圆锥交线为椭圆。

平面截取圆锥面所得的曲线

平行于圆锥轴线的平面截取的是双曲线

抛物线的定义：到一个固定点与到一条定直线的距离相等的点集所形成的曲线。

抛物线所属的定点叫焦点，定直线称为准线。焦点到准线之间的线段的中点是抛物线的顶点。 焦点到准线的距离一般设为2p, 则可求出其典型的方程。

抛物线特征

抛物线有一个令人感兴趣的特点是，当来自平行的光线与抛物线相交后，其反射后的光线会经过焦点。利用这点可以做成抛物面形状的盘状物接收器来接收卫星的信号，原理就是一束电磁波与抛物线的对称轴平行，当照到盘状天线后，就会汇聚在焦点，这些无线信号经过解码就可以收看卫星频道的节目。反过来，如果在焦点处放置灯，其发出的光线经抛物面的反射会平行地照射到前方，汽车车灯就是这个原理。

抛物线的聚焦性

椭圆的定义：到两个固定点的距离和为定值的点集所形成的曲线。两个定点称为椭圆的焦点。

两个焦点的距离为2c, 动点到两个焦点的距离之和为2a, 那么椭圆的方程和图形如下。其中

b2=a2-c2。圆是长短轴相等的椭圆。

椭圆的特征

椭圆也有一个有意思的特点，就是从一个焦点处发出的光线或声音经过曲线的反射会传到另一个焦点。这意味着如果某个建筑设计成椭球形，一个人站在大厅的一个焦点说话，第二个人站在另一个焦点，那么这个人会很清晰地听清第一个人的声音。

美国国会雕像大厅的椭圆形状

双曲线的定义：到两个定点的距离差为常数的点集所形成的曲线。这两个定点称为双曲线的焦点，其距离为2c, 两个线段的距离差为2a， 并且b2=c2-a2.

双曲线的特征

同样双曲线有趣的是也能够反射光线，当光线沿着一个焦点到一个曲线后，会反射到另一个焦点的方向。利用这个特性可以探测太空光线的方位，也可依此做成望远镜的镜面。

双曲线镜面用于收集遥远星球的光线

圆锥曲线的准线：不论是抛物线，椭圆还是双曲线都有一条垂直于坐标轴的直线，使得曲线上的一点到焦点的距离与到该直线的距离为常数e， 这条线就是准线。抛物线有一条准线，椭圆与双曲线有两条。

圆锥曲线的准线

圆锥曲线的离心率（或称为偏心率）：上述的定点到焦点距离与到准线距离之比又叫离心率，它反映的是椭圆或抛物线的两个焦点的远近，当焦点距离越远则离心率越大。圆的偏心率为零。对于椭圆或双曲线的离心率e=c/a 。由此可知椭圆的离心率0＜e＜1, 双曲线的离心率e＞1, 抛物线的离心率e=1。椭圆或双曲线的一个准线方程是x= a/e。

在解题过程中利用圆锥曲线的顶点到焦点距离与到准线距离是e的这个等式会比较容易地解决问题。