度量单位的本质及小学数学教学（度量单位的本质及小学数学教学）

度量单位是计量事物标准量的名称。几乎所有度量单位的产生和发展都经历了漫长的时间，承载了度量单位由多元到统一，由粗略到精细的发展过程。

度量是数学的本质，是人创造出来的数学语言，是人认识、理解和表达现实世界的工具，正如庞加莱所论述的那样： “如果没有测量空间的工具，我们便不能构造空间。”

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本文选自︱《数学教育学报》2018.12（有删减）

作者︱娜仁格日乐、史宁中

度量可以是因人而异的，度量单位就是把不同个体的度量方法标准化，是为了对度量的结果进行传播和交流的需要。因此，度量单位的制定必须能够表达度量的本质，方法科学、表达准确、相对稳定，能够得到人们的广泛共识。

无论度量单位的称谓如何，人们都是用 1 来表示一个度量单位，这是数学研究最为基本的概念。虽然度量单位都是人规定，但就度量单位的形成过程而言，大体可以分为两类：

一类是通过抽象得到的，是人思维的结果；另一类是借助工具得到的，是人实践的结果。

形成过程的不同必然蕴含着思维形式的不同，因此，对于数学教育、特别是对小学数学教育而言，这样划分是必要的。这里分别讨论这两类度量单位的形成过程以及其中蕴含的思维形式，然后再讨论相应的小学数学教学。

01

通过抽象 得到的度量单位

从远古时代开始，为了日常生活和生产实践的需要，人们创造出一些语言用来表达事物量的多少，比如，狩猎收获的多少，祭祀牺牲的多少，等等。

在古代中国，这样的表达可以追溯到商代的甲骨文。虽然在这样的表达中出现了数字，但这些数字都依附于具体的现实背景，因为在数字的后面都缀有特殊的量词，可以把这样的量词看作度量单位的称谓。

在现代汉语中，一些后缀量词被根深蒂固地保留下来，比如，“一粒米、两条鱼、三只鸡、四个蛋、五匹马、六头牛、七张纸、八顶帽子、九件衣服、十条裤子”，等等。

可以看到，这样的数字还不完全具有数字符号的功能： 因为一粒米与一头牛是不可同日而语的，虽然都是数字 1 的具体体现；这样的表达是无法进行运算的，因为无法理解一粒米加一头牛得到的是什么。

数学研究的对象应当是更为一般的抽象，这就涉及到数量度量的本质，这个本质就是度量数量的多与少，如前所述，这个抽象过程依赖于人对数量多少感知的本能。这个抽象过程最终导致十进制自然数的发明，十进制大概与人有 10 个手指头有关。

这个抽象的结果， 在形式上是舍去了度量单位的称谓，在实质上是脱离了数量所依赖的具体的现实背景。数学抽象的本质就是舍去事物的现实背景，更确切地，数学抽象就是舍弃事物的一切物理属性。

表示十进制自然数的关键是 10 个符号和数位，其中的度量单位是 1，因此，自然数是一个一个多起来的，皮亚诺就是依据这个原则建立了自然数公理体系。

需要特别强调的是，虽然在教科书中是用加法 （相反数） 或者减法定义负整数，但中国汉代的数学著作《九章算术》表明，负整数与自然数一样，也是人们对数量抽象的结果，与对应正整数之间的关系是： 数量相等，意义相反。

基于度量单位，那么 5 就是 5 个 1，50 就是 50 个 1。因为是十进制，因此自然数的数位依次相差 10 倍，可以用现代数学语言表示为 10⁴，10³，10²，10¹，10⁰，10^-1，10^-2，10^-3，10^-4， 在一般的意义上，可以把数位也看作度量单位。

比如，人们通常把 5000 读作 5 千，这是 5 个 10³ 的语言表述；把0.05 看作 5 个 0.01，这是对 5 个 10^-2 的理解。这样认识度量单位的方法，对于分数度量单位的理解是非常重要的。

虽然分数是数，被称为有理数，但最初的分数是为了表达两个自然数之间的关系，主要表达两种关系，一种关系是整体的等分，另一种关系是两个线段长度的比。

关于整体等分所表达的分数，分数单位的表达形式可以在古埃及象形文字中找到，是在表达整数的符号上面画一个椭圆的符号，比如，在表示 4 的符号上面加上一个椭圆就表示分数 单位 1／4。特别是在古埃及，几乎所有的分数都是通过分数单位和的形式进行表达的。

之所以说这样的分数是整体等分的表达，还有一个重要的理由，是因为古埃及人是这样表述分数的，比如 3 份，他们称 3／3 是分数的第一个数， 2／3 是分数的第二个数， 1／3 是分数的第三个数，这显然是把整体 1 分成 3 等份的表述。

这样的理解延续至今，现代英语仍然用第三 （third）、第四 （fourth）、第五 （fifth）等顺序用语表达分数单位。与整数的表达一样，基于分数单位， 3／5表示的就是 3 个 1／5。

两个线段长度比所表达的分数，为了用几何的方法解释无理数。无理数的问题困扰着古希腊的学者，因为包括毕达哥拉斯在内的古希腊学者认为，可以用整数表达世间万物， 可是无理数有悖于这种学说。 欧几里得在《原理》中定义了这种形式的分数：

用长度单位 1 分别度量两个线段的长度，如果线段 a 和 b 是两个可以公度的量，公度的量分别是 n 和 m，那么这两个线段的长度就分别是 n 和 m，并且比值 n : m（或者 n／m）就对应于一个有理数；如果这两个线段不可以公度，那么得到的就是无理数，并且用大于或小于号表示无理数与有理数的关系。

据说这种思想来源于古希腊学者欧多克斯，一个不争的事实是，这样的思想孕育出了戴德金用有理数的分割定义实数的方法。

后来，人们通过四则运算和极限运算把数由自然数扩充到实数，但用以表达数的、抽象出来的度量单位没有发生实质变化。

02

借助工具 得到的度量单位

主要是指基于事物的背景构建的度量单位，这样的度量单位始终含有表达事物背景指标的称谓，例如，刻画事物的重量、长度、能量、体积、温度、速度，等等。这样的度量单位不是抽象的结果，而是借助工具制定的。这里用长度单位的演变过程来分析这类度量单位的本质。

度量长度的本质是度量两点间距离，如前所述，这样的度量依赖的是人对距离远近感知的本能，这样的度量是需要参照物的。

人们最初度量距离的参照物都是人体自身的器官。在现今的日常生活中，这样的度量仍然广泛使用。

比如，在中国人们所说的“拃”就是古代中国的“尺”，指的是成年男人大拇指与中指之间的距离，如《孔子家语》中所说：“布手知尺，布指知寸。” 还有一个度量单位是 “咫”，指的是成年女人大拇指与中指之间的距离，成语 “咫尺之间”说的是相差不大。

在西方的许多国家仍然把“英尺”作为度量单位，英文单词是 foot 是脚的意思，指的是成年男子一只脚的长度，由于脚的长度因人而异，16 世纪的德国人采用了一个折中的方法，某礼拜日把从教堂里走出的 16 个成年男子集中，测量每人左脚的长度、加在一起取平均，定义这个平均数为英尺的单位长度，延续至今。

由此可见，这样制定的长度单位是因人因地而异的，是无法进行传播和交流的，因此长度单位的制定需要从多元走向统一。现在全世界统一使用的长度单位“米”源于法国，1790 年，法国科学家特别委员会提出建议，定义“米”为巴黎子午线全长的四千万分之一。

为了使用方便，1889 年第一届国际计量大会决定，把长度单位“米”固化，用一根相当于这个长度的、截面呈 X 型的铂铱合金棒为“米”的基准，人们称之为“米原器”，这是第一次在全世界范围内确定的长度标准，现在这个“米原器”保存在巴黎国际计量局的地下室中。

随着科学研究的逐渐深入，人们越来越需要非常精细的距离单位，因此长度单位的制定还需要从粗略走向精细。基于“路程=时间×速度”的公式，可以通过时间和速度定义长度单位。

根据爱因斯坦相对论的假设，光的速度是绝对的，因此，当人们能精确测定时间和光速以后，1967 年第十三届国际度量衡大会，利用原子钟原理对秒给出严格定义： 铯 133 辐射 9 192 631 770 个周期的时间间隔。 1983 年第十七届国际计量大会通过定义： 米长度为光在真空中 1／299 792 458 秒所经过的距离。

这样， 人们就精细地定义了时间单位和距离单位。 通过定义的过程可以看到，无论是古代还是现代，无论是粗略还是精细，这样的度量单位的制定都是借助工具的，因此，这样的度量单位的表达都是具有量纲的。比如，刻画时间的 “秒”，刻画距离的 “米”，刻画重量的 “克”，刻画速度的 “米／秒”，等等。

03

相应的 小学数学教学

通过上面的论述可以看到，对于度量和度量单位的小学数学教学，应当注意到下面 3 个基本原则。

1 把握度量单位的数学功能和本质特征

没有度量就没有数学，度量是人们认识数学，进而认识现实世界的基本工具和表达语言，是可以因人而异的。度量单位的确立是为了人们能够对度量进行统一的表达和无歧义的交流，因此度量单位必须能够揭示度量的本质，能够得到人们的共识。

度量的本质在于表现事物某些指标的顺序，比如： 数量的多少以及抽象出来的数的大小；距离的远近；重量的轻重；速度的快慢。

2 把握度量单位的形成过程和表达形式

度量单位的形成大体都经历了从多元到统一，从粗糙到精细的过程，这是为了日常生活的表达和科学研究的需要。虽然度量单位都是人规定的，但就形成过程而言，大体可以分为两类： 一类是通过抽象得到的，是人思维的结果；另一类是借助工具得到的，是人实践的结果。

3 把握学生认知度量单位的先天本能和特殊能力

这里特别强调，人之所以能够进行度量，并且能够对度量单位得到广泛共识，是基于人的两个先天本能，这就是对数量多少的感知和对距离远近的感知。这两个先天本能是学生学习数学、度量和度量单位的思维基础，又因为人具有抽象和想象这两种特殊能力，因此可以把两个先天本能延伸到对事物某些指标顺序的感知。

对于具体教学方法的设计而言，上述第二条基本原则是首要的，也就是说，首先要分析清楚所要教学的度量和度量单位是通过什么形式得到的，进而可以采取不同的教学策略。在确定了教学策略以后，再合适地融入第一条和第三条基本原则。

第一条基本原则是为了明确教学过程的核心思想和基本框架，在教学过程中突出数学的本质。第三条基本原则强调注重学生认知过程，在教学过程中不仅要关注学生知识技能的掌握，还要关注学生数学素养的形成。

无论是采用什么样的教学策略，设计什么样的教学过程，最终的教学目标都是培养学生： 会用数学的眼睛看，会用数学的思维想，会用数学的语言说。

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