找到零一（推荐寻找零的起源）

数字的发明是人类历史上的一项创举。生活中几乎所有的东西都离不开数字，可关于我们是如何得到这些数字的故事却始终盖着神秘的面纱。从古巴比伦楔形数字到希腊罗马字母数字，都没有看到零的身影，我们现在所使用的印度-阿拉伯数字中的零究竟是从哪里来的？

《寻找零的起源》，这场聚焦东方的数字起源之旅，辗转印度、泰国、老挝、越南，最终指向柬埔寨的丛林。在这段漫长的旅途中，追求真相的学者、寻求刺激的丛林探险者、真诚得让人意外的政客、无耻的走私客连结成线索，引向了世界上最早的那个零。

《寻找零的起源》书影

精彩书摘

成年后，我意识到了儿时困扰我的谜团事实上是两个问题。第一个问题是最初的数字是从哪里来的，即数字一到九是何时何地何人发明的？第二个问题是数字零是从哪里来的，它是如何演化并成为影响世界的数字的？我意识到真正难解答的是第二个问题。此外，人类是如何得到数字这个概念的？这个概念的起源是什么，又是如何随着人类历史的发展和演变，最终成就了由数字主宰的现代社会？

货船继续在大洋里缓慢航行。我和洛齐会花好几个小时的时间讨论以上几个问题。这些讨论的深度比起我小时候要复杂深刻得多。洛齐曾经是俄罗斯顶尖大学的纯数学博士生，而数学也一直是俄罗斯大学所重视的学科之一。这就不必意外他可以在这些讨论中充分发挥他的知识和才能。我喜欢和洛齐坐在甲板的椅子上，讨论那些我长大后才慢慢开始理解并感兴趣的数学概念，当然这些概念也是基于他在我小时候教过我的那些，譬如，表达数字的符号、数字、质数和那神秘的斐波那契数列。

船终于跨越了大西洋，在新斯科舍省的哈利法克斯港口停了几天，接着会经过纽约市、南卡罗来那州的查尔斯顿，在前往加勒比海和南美洲前停靠迈阿密。我在那里下了船，准备搭飞机去旧金山的学校报到。临走前，洛齐跟我说：“记得你小时候我们一起探讨过数字符号是从哪里来的吗？你或许可以找到答案。我有一次在一本科学考古杂志里读到，一位法国考古学家几十年前在亚洲发现了关于数字零的重要信息，但我记不得具体细节了。”

洛齐临别前的话激起了我浓厚的兴趣，但我一直没有机会继续一探究竟。在伯克利，我的数学课被安排得满满当当的，这些课程虽然有挑战性但都很有趣。除此之外，我还要一边担心我的成绩和考试，一边学习成为一名数学家。

通过我所修的课程——大部分是数学课，也有一些人类学、社会学和哲学课，我学到了不少关于数字和它们发展演化的知识。

数字作为概念出现的时间比我们想象的要早得多。1960年，比利时探险家海因策林（Jean de Heinzelin de Braucourt）在伊尚戈一带勘测，也就是现在的乌干达刚果（金）边境附近（当时是比属刚果区）。他发现了一块有些奇怪的骨头：这是一块狒狒的腓骨，上面刻着像是清点统计的符号。后来的研究分析表明这些符号可能是人类最早的计数证明。这块骨头上有三组一模一样的刻痕。相加总和分别是六十、四十八、六十。每一组刻痕又由五道、七道、九道、十一道、十三道不等的一串串符号组成。这块骨头可以追溯到两万年前的旧石器时代，当时人们主要以采集、狩猎为生。伊尚戈骨证明了早在两万多年前的非洲，人类就已经开始了某种计数的形式。它是迄今发现的最古老的证据，如今陈列于布鲁塞尔的比利时皇家自然科学研究所。

伊尚戈骨：这是一块狒狒的腓骨，距今已有两万多年，上面的刻痕被认为是人类最早的计数证明

那么伊尚戈骨的发现说明了什么呢？它代表了在史前时期，生活在非洲灌木丛中的早期人类，已经会在死去动物的骨头上用刻痕来记录他们狩猎动物的数量。这种以一对一的记录还不能完全算是真正的计数，但已经非常接近了。骨头上刻痕越多代表其主人狩猎的数量越多。即使不知道具体数值，任何人也可以一目了然。尽管所有的这一切都是假设，但可能非常接近事实。

伊尚戈骨无疑是古人类尝试计数的最好证明。但我们在欧洲也发现了其他动物骨头上刻着类似清点的符号。这些骨头可以追溯到旧石器时代，证明欧洲的人类在相近的时间点也开始尝试计数。

另一个稍晚一些的计数证据来自神秘的新石器时代石阵，距今大约六千年，是位于法国布列塔尼卡纳克村的卡纳克巨石林。有趣的是，这些石列包含的巨石数量都是质数：7，11，13和17。这究竟是巧合，还是某种计数方法？又或是代表着古人类对数字更深刻的理解？对此，我们没有答案。尽管考古学家已经努力研究了几十年，却至今也无法解开卡纳克之谜。没有人知道为什么有那么多沉重的大石头被排列成行，或许它与英格兰的巨石阵也有关联。英格兰的巨石阵也在同一时期被排列成环状。

但是伊尚戈骨和卡纳克巨石林与我们现在所认知的数字还是有所不同。在日常生活中，人们最初是用手指来代表一些小的数目。亚里士多德曾经说过：“不知道是不是因为人们有十个手指头，像小圆石一样，可以用来数身边所有的东西？”还得再加上我们的十个脚趾头，早期的人类社会用这个来数十以上的数字。在法语中，我们还可以看到过去二十进制的残留。数字八十，字面上的意思就是四个二十（quatre-vingts）。

可以清楚地看到，最早人类数数是从自然的巧合开始的：我们每只手有五个手指，每只脚有五个脚趾。在一些语言中，譬如古高棉语，五用来作为其他数字的一个基点：“四之后”是五，接着是“五和一”“五和二”，这样下去一直到十。然后再用十作为下一个基点。早期的欧洲数字，譬如罗马数字，也有这样的规律。罗马数字中的Ⅴ（五）、Ⅵ（六）、Ⅶ（七）、Ⅷ（八）都以Ⅴ（五）作 为基点的。从八以后我们才看到了跟十的关联：Ⅸ（九）、Ⅹ（十）、XI（十一）、XII（十二）、XIII（十三）。可见，五和十都作为关键数字在世界不同地区出现。

在古印度，十是那个关键数字。人们很早就已经开始使用小数点，最早可以追溯到公元前6世纪的碑文中。与此同时，古印度人还学会了以十作为底数的指数运算，并且知道这个运算是可以无穷尽地进行下去的：十个人竖起他们的十根手指，每根手指算一个，这样数十次，就是十的三次方，再乘以十就是十的四次方，这样以此类推。

中国的《九章算术》诞生于汉朝。书中运用了正负数两种数字，正数用红色表示，负数用黑色表示。在3世纪的埃及，一位顶尖的希腊数学家丢番图在他的公式中得到了负数，但他立马认为这是不可能的。由此可见，负数这个概念很早就出现了，但当时的人们没能真正理解它的含义。如今我们在会计中使用的复式记账法是13世纪在欧洲发展形成的，它出现的一部分原因就是为了避免使用负数。想要定义负数，我们就必须先有零的概念。

负数从某种意义上来说，是正数的一个镜像。如果你画一条数轴，从零开始往右是1、2、3等等，从零开始往左则是﹣1、﹣2、﹣3等等。数字﹣1就是数字1以零为镜面的镜像。零在数学及其应用领域起到了很大的作用。不仅如此，在物理、生物、工程和经济等领域中，零也扮演了重要角色，出现在了一些决定性的公式里（物理中的麦克斯韦方程组就是一个很好的例子）。

古巴比伦人曾经发明了一套使用起来很麻烦的六十进制数字系统，该系统里没有真正的零，因此使用起来经常会有歧义，人们只能通过情境来判断。拿我们现代的例子来说明吧：有人跟你说，一样东西价值“六九五”，如果你是买一本杂志，你就会知道是六块九毛五；如果你是买一张飞机票，你就会推断是六百九十五块。在这套复杂的系统中，古巴比伦人经常要作这样的判断。有趣的是，我们至今还可以看到这套系统所留下的痕迹。譬如，我们一分钟为六十秒，一小时里为六十分钟，转一圈是360°（即6×60°）。但是古巴比伦人的数字系统就像早期用手指和脚趾数数一样，没有办法适应现今社会的需求。

另外一个有趣的问题出现了：为什么用六十作为基数呢？我们有十个手指，所以用十作为基数很合理；如果你坚持要把脚趾也算上，那么二十作为基数也算方便。为什么用六十呢？1927年，著名的美籍奥地利科学史专家奥托·诺伊格鲍尔提出，古巴比伦人之所以会选择较大的六十作为基数，是为了能够解决日常生活中产生的问题。我们经常会用到1/2、1/3、3/4、2/3这样的分数：譬如我们想要买半条面包、三分之一块起司或三分之二块牧羊人派。如果我们用较为自然的十作为基数，那么要如何精准地算出1/2、1/3、3/4、2/3这些我们常用的分数呢。诺伊格鲍尔认为，六十是一个很好的选择，因为它可以被2、3、4和10整除，也因此，整套系统成了六十进制。另一种假设是认为古巴比伦人当时知道有五个行星的存在（水星、金星、火星、木星和土星），他们出于天文原因选择了六十作为基数。因为一年中有十二个月，而六十是五和十二的乘积。

希腊罗马式的数字系统在我参观希腊和罗马时就有所了解。这套系统一样没有零，只是重复使用一些符号来代表不同的含义。希腊罗马的数字系统就像古巴比伦和古埃及的一样注定淡出历史舞台，最终只能优雅地留在那些纪念日和钟面上。

接着，在13世纪的欧洲，一个包含九个数字和零的系统出现了。这个创新的数字体系非常受欢迎，在短短十年间就被社会各个精英领域所广泛运用。商人、银行家、工程师和数学家都认为这个新的数字系统改善了他们的生活，因为他们可以用它来更快地做运算，错误也更少。

有人认为是比萨的列昂纳多（1170—1250），也就是斐波那契（就是斐波那契数列的发现者）将印度-阿拉伯数字带到了欧洲。他的著作《算盘全书》于1202年出版，他在书中引入了印度-阿拉伯数字。很快，这本书就传遍了整个欧洲。这本书介绍了九个印度数字（即数字一至九）以及符号零。斐波那契称符号零为zephirum，这个拉丁单词的词根可以追溯到阿拉伯语的sifr。阿拉伯的零和欧洲的零在词源上有着联系。此外，他还非常明确地称一至九这九个数字为印度数字。因此仅仅在这一本书中，我们就有数字的印度起源论和阿拉伯起源论。

这套在中世纪进入欧洲的数字系统比当时一直在使用的罗马数字系统要先进得多。它带来了很多数字表达的可能性。譬如，数字四，单个使用时代表四；其后加一个零代表四十；两个四之间加一个零时，代表四百零四；其后加三个零，则代表四千。这套印度-阿拉伯数字系统的性能是无法比拟的，它让我们能够很高效简洁地使用数字，做之前无法轻松完成的复杂运算。

这套基于九个数字和一个零的系统让人惊奇，但它的来源依旧是个谜。或许像斐波那契所说的，九个数字来源于印度，但在学术界没有能够拿出让人信服的证据。还有零，它到底来自阿拉伯还是印度？还是别的什么地方？我依旧不知道答案。

文 | 阿米尔·阿克泽尔

（本文节选于《寻找零的起源》第二章）

图书简介

《寻找零的起源》

[美]阿米尔·阿克泽尔 著

周越人 译

上海科学技术文献出版社

ISBN：978-7-5439-8045-7

2020年4月

《寻找零的起源》既是一场对数字零的起源的探险之旅，也是作者阿米尔·阿克泽尔身为一名数学学者的人生传记。正是对数字起源的好奇，引导他去探索未知的领域，去印度、泰国、老挝、越南，并最终进入柬埔寨的丛林。作者在他的旅途中遇到的许多有趣的人——学者、政客、探险家、走私客、文物窃贼。通过他们，作者最终向读者揭示了我们的数字来自何方。

作者简介

阿米尔·阿克泽尔，出生于以色列海法，博士毕业于加州大学伯克利分校，在多所大学教授数学及科学课程，曾出版《费马大定理》《神秘的阿列夫》等多部科普书籍。