2022新课标数学思想和方法（从数学工具性等四个角度对数学新课标）

新课标当中仍然沿用数学是研究数量关系和空间形式的科学。并且分别从数学的本质和作用以及数学的教育功能与义务教育阶段数学课程的要求两个层面来对数学的课程性质进行了说明。实际上就是从科学的角度和从学科的角度阐释数学。

一、为什么这版特别强调数学抽象

与往常的课标相比，这一版的新课标特别的强调了数学的抽象。值得注意的是，这不是说以往的课标没有提到过数学抽象，就拿2011年的《课标》相比，课程性质中没有对数学抽象能力的表述，但是提到了培养学生的抽象思维和推理能力。在课程目标的十大核心词当中，数感，符号意思，空间观念，模型思想也与抽象挂钩，只是没有像2022年版《课标》一样把数学抽象放到这么高的位置。

这里的抽象特指的是对数量和数量关系以及图形和图形关系的抽象，并不涵盖生活当中的所有抽象。体现了数学来源于生活，但只是研究生活当中现象的某一部分、某一方面，或者某几部分、某几方面，而不是方方面面。这也就是为什么在三会当中会描述为用数学的眼光观察、用数学的思维思考、用数学的语言表达，特别强调了从数学的角度。数学抽象得到的是研究对象及其关系，换句话说，数学的研究对象和关系都是抽象的，具备抽象结构。

抽象结构的呈现形式上是研究“对象 ”具体操作包括：符号运算、形式推理、模型建构等，所以 的内容可以是性质、关系、运算等，性质的讨论与数学说理有关，关系的讨论与数学模型有关，运算包括了代数推理能力和运算能力，所以单纯的对数学对象进行表述和定义是没有意义的，要落实到对性质、关系以及运算上的讨论。得到的是数学的结论和方法，帮助人们认识，理解和表达现实世界本质、关系和规律。这里的结论一般指的是结果性的，而方法则在过程当中形成或呈现出来的从这个层面上来讲从这个层面上来讲。结论和方法不可分割，是一体的，是相辅相成的。基于获得结论，形成方法的过程进行反思复盘总结出指导方法、探索结论的数学思想，就这连带的所有过程是形成的数学文化的重要组成部分，参与到人类的文明当中来，构成人类文明的一部分。

另外数学抽象、逻辑推理和数学模作为数学三大基本思想反映了完整的数学过程。哥白尼和伽利略提出的日心说在当时只是具有数学优越性的理论，他们却坚定地去推翻以公认的天文学和力学的定律以及宗教信条。笛卡尔明确确宣称科学的本质是数学，从生活当中进行数学抽象，得到数学的研究对象和简易关系，对数学对象及其关系进行逻辑推理得到数学模型。反映出研究对象的本质、关系和规律。再回到世界生活当中进行表达解决问题正是一条完整的数学运用链。

二、数学工具性的历史解读

对数学作为自然科学的基础、体现其工具性的解读，史宁中教授在多次《课标》解读的讲座和他主编出版的书甚至是《课标解读》中都举了伽利略和牛顿的例子。这是怎么回事呢？

到了1600年，欧洲的科学家已经注意到了数学在自然科学上研究的重要性，追溯到文艺复兴时期，哥白尼和开普勒仅凭具有数学优越性的日心说就坚定的去推翻公认的天文学和力学定律以及宗教信条。在此之前人们延续着古希腊的数学观进行数学的，把数学作为思维训练的学科，数学家们更多关系的是数学知识和结构的自洽，如何借助数学实现与上帝的沟通，现实与数学之间的联系较弱。到17世纪，笛卡尔明确的宣称科学的本质是数学。但是笛卡尔仍然是是一个经验主义者。他主张从心出发，得出关于存在和实在的命题。这与古希腊主流的科学观是一致的。

伽利略明确的认识到科学领域要与宗教教条决裂。他与虽然与笛卡尔一样，相信自然界使用数学来设计，当然，这古希腊尤其是柏拉图以来就存在的主流观点。但是他将他对自然地研究集中到物质与运动上，然后建立数学模型，用数学模型去解决和解释。依照公理——真理——演绎推理——建立新的真理的路径进行物理的研究。这个思想源自亚里士多德，伽利略寻求的也只是在数学模型引导下的演绎结构。也就是说，在伽利略以前的人和笛卡尔都相信基本原理出自内心，只需要对任何一类现象去想，就能认出基本真理。而伽利略决定在物理学当中基本原理必须来自于经验和实验。寻求正确的基本原理的道路是要注意什么是自然解说的，而不必注意什么是心之所愿的，知识来自观测。

当然，文艺复兴时代的思想家以及同伽利略同时代的人弗朗西斯培根也得出了一样的结论：实验是必要的。从这个层面上讲，伽利略并没有走到别人的前面。同时，伽利略和惠更斯、牛顿一样认为科学工作中的演绎数学部分所起的作用比实验部分所起的作用大。由此，为近代科学造型的人：笛卡尔，伽利略、惠更斯和牛顿（还可以加上哥白尼、开普勒），都是以数学家的身份去探索自然，无论在无论在一般方法或者具体研究上都是这样。他们希望通过直观或者关键性的观察和实验去了解广泛的，深刻的，但是是简单的清晰而不变的数学原理，然后从这些基本原理导出新的定律，完全和数学本身构造它的几何方式一样。大量的活动是演绎部分，整体的思想体系就是这样导出的。这在后来被证实是有要有意义的。

再说一说伽利略，伽利略的方法论原理很多来受数学研究方式的启发，比如在完全没有阻力的介质中，所有物体以同一速度降落。这是由于伽利略曾经观察不同物体的中空气降落的速度差异。得到介质越稀薄，物体下降的差异越小，于是他猜想如果到达理想状态及完全没有阻力的介质当中，所有的物体都将以同一速度降落。伽利略在这里用到的就是去掉偶然的或次要的效应，得到首要的效应。这就好比数学家研究实际图形时所做的那样。数学家从线上去掉分子构造、颜色和厚度抽象出数学上的线作为数学研究对象，然后就集中研究线的相关性质，伽利略就是这样深入到物理研究当中去的。数学的抽象方法确实离开了现实，但当它回到现实时，却比所有因素都考虑进去更为有力。

第二个例子是关于数学本身的应用。亚里士多德派和中世纪的科学家都偏向质的研究。伽利略与他们不同，寻求的是量的公理。举个例子，亚里士多德派说球的降落是因为它有重量。落在地上是因为任何物体都要找到他的自然位置，而重物的自然位置就是地球的中心，而伽利略不解释物体为什么降落，如何降落，通过公式v=32t表述速率随时间的变化情况，数学就此作为了他研究物理的工具，换句话说伽利略选择了一些全新的，可以测量的概念，使得他们的测度可以用公式联系起来。这种概念包括距离，时间，速度，加速度力，质量，重量等。

就实验而论，伽利略是一个过渡的人物。包括50年后的牛顿都相信少数关键性的实验应该能产生正确的基本原理。伽利略确实从经验中得出几个原则，而且在这个工作中，他的研究方式截然不同于他的前辈的研究方式，他断定人们必须到现象中去，而把后者作为起点。伽利略有些思想是别人曾经提出过，有些则是完全出于他自己。他的卓越之处在于他非常清楚地看出当时科学研究工作中的错误和缺点，彻底的摒弃了旧的方式，又非常明确的制定了新的程序。在应用这些程序与运动问题时，他不但表演了这些方法，而且成功的获得了辉煌的成果。证明了他的程序是有效的。他的工作的完整性，思想和表达的明晰以及辩论的力量影响了几乎所有他的同辈和后辈，成为了近代科学方法论的奠基人。

牛顿全盘的接受了伽利略的程序。数学原理对于伽利略和牛顿来说都是作为量的原理。在他的天体力学当中，中心的物理概念是引力，而引力的作用是完全不能用物理的术语来解释的，牛顿不给解释，只是给出一个显明而有用的数量公式表明引力是怎样作用的。在他的《原理》的开端处也写到：我计划在这里只给出这些力的数学概念，不考虑他们的物理原因和根底。在书的结尾，他又重复他的思想：我们目的是要从现象中寻找出这个力的数量和性质，并且把我们在简单情形下发现的东西作为原理，通过数学方法，估量这些原理在较为复杂情形下的效果...我们说通过数学方法是为了避免关于这个力的本性或质的一切问题，这个质是我们用任何假设都不会确定出来的。

放弃物理的机械解释，而改用数学的描写。使科学变得沉重的依赖于甚至几乎附属于数学，所以扩展数学领域和数学技术的是科学家，而科学所提出的种种问题给数学的创造性工作指明了许多重要方向。正如伽利略和牛顿那样，从现实生活当中抽象出数学概念用符号表示，经过符号运算和逻辑推理得到数学模型，这个数学模型反映的就是研究对象之间的数量关系，可以是相等和不等关系，在变量中呈现的是变化规律，由此。这个模型作为了反映关系的语言，对客观世界进行描述和表达。值得注意的是，纵观数学发展的历史，数学作为工具参与到自然科学的和社会科学中的研究并不能解释全部的数学，课标侧重于17以来数学的作用，要更好的理解数学的本质，有必要对数学史进行一定的了解，以便更好的理解数学思想，助力教学。

三、时代背景下的数学变化

随着时代的进步，数学的发展数学已经不只是作为工具。参与到各种科学当中而是直接为社会创造价值，推动生产力的发展。大数据时代的到来，从根本上改变了我们认识世界和做决策的方式。我们我们将面临三大转变。第一是我们可分析的数据更多，甚至可以处理与某个特别现象相关的所有数据，不再依赖随机采样。第二是我们可以接受更多的混杂，更多数据上的不精确。因为我们的数据足够多。第三是不再探究难以琢磨的因果关系，转而关注事物之间的相关关系。也就是说我们更关注现象反映的价值，追究原因变得没有多大意义。

以往我们对问题知晓的信息过少，想要利用测量获得的点滴数据从局部推测全局，于是科学探究的基本路径定位为：发现问题——提出假设——制定方案——实践探究——分析数据——得出结论，目前学校教育也是将其作为科学研究的基本范式来传授。而今，基于大量的网络数据，已经能够较为全面的认识事物的整体，提出的假设失去了意义。我们可以直接分析数据得出结论。

传统的因果思维也受到了挑战，一定意义上，相关关系比因果关系更重要。与之匹配的数据化就比数字化更重要。这两者的区别在于：将书本制作成电子课本做到的是数字化。而对学生学习活动中的各种信息及时记录和分析，并作为教师备课和教学的依据才是数据化，信息只有被数据化才能发挥出它的潜在价值。这就对了计算数学和统计学发出挑战。基于这样的考虑，《课标》（2022年版）的小学极端将百分数移到统计与概率领域、将分类修订为数据分类、初中阶段在数与代数领域增加了近似计算的内容，在统计与概率领域增加了数据分析方法和平均数分布式计算的内容旨在发展学生数据意识和数据观念。

四、学科角度的数学

从学科的角度，我们更多关注的是数学的育人功能。定位以数学知识为载体，引导学生关注知识所承载的思想方法，培养学生的数学能力，从而发展学生的学科核心素养。数学方法的体验、积累、提炼得力于数学活动经验，因此有了常讲的四基：数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。在此基础上则是通用性能力培养，比如：独立思考的习惯和合作交流的意愿，实践能力和创新精神，培养社会责任感、三观建立等。在数学内容的选取上，从数学知识体系当中选择适合义务教育阶段学生学习，而且能够体现其本质特征的内容。同时也兼顾时代前沿数学学科的发展。主要以初等数学的内容为主，融合了数学发展的新理念和新方法。按照数学学科的逻辑形成核心内容并合理的方式呈现出来。所以数学课程内容要能够凸显学科本质，满足学生学习需要。

从这个角度来讲，教师能处理而且主要处理的是教学设计，如何确定课堂的教学内容及其呈现方式更好的凸显数学学科本质，满足学生学习需要成了我们老师要思考的一个重要问题。上海的马芯兰注重结构化教学，对小学数学知识体系进行了综合和重组，将起决定作用的十几个核心概念提炼出来，以核心概念当中的核心“和”为统帅有机地勾连起来，形成一个完整的知识结构体系，帮助学生将学到的新知识不断的纳入到已有的认知结构当中再加工，形成纲目清楚的知识结构、实现有意义的数学教学。