如何证明可逆矩阵(高等代数矩阵可逆矩阵的定义及其相关性质的证明)
矩阵可逆的定义:令A是数域F上的一个n阶矩阵,若存在F上n阶矩阵B,使得
AB=E(E为n阶单位矩阵)
则A为可逆矩阵,并且将A的可逆矩阵
记作A⁻¹,称A⁻¹为A的逆矩阵。
可逆矩阵的性质1
可逆矩阵A的逆矩阵A⁻¹的逆矩阵为A
即(A⁻¹)⁻¹=A
证明:如果矩阵A为A⁻¹的逆矩阵,那么
根据矩阵可逆的定义,我们可以得到下面这个式子
A⁻¹A=E
所以,A为A⁻¹的逆矩阵。
可逆矩阵的性质2如果矩阵A可逆,那么(kA)⁻¹=A⁻¹/k
证明:因为矩阵A可逆,所以AA⁻¹=E
所以,(A⁻¹/k)(kA)=[(A⁻¹/k)k]A
=A⁻¹A=E
所以,(kA)⁻¹=A⁻¹/k
可逆矩阵的性质3如果矩阵A和B都是可逆矩阵,那么
(AB)⁻¹=B⁻¹A⁻¹
证明:根据可逆矩阵的定义
(AB)B⁻¹A⁻¹=A(BB⁻¹)A⁻¹
=AEA⁻¹
=AA⁻¹=E
所以,这个等式成立。
可逆矩阵的性质4如果矩阵A可逆,那么(Aᵀ)⁻¹=(A⁻¹)ᵀ
证明:根据可逆矩阵的定义
Aᵀ(A⁻¹)ᵀ=(A⁻¹A)ᵀ=Eᵀ=E
所以,这个等式成立。
可逆矩阵的性质5如果矩阵A可逆,那么(Aᵏ)⁻¹=(A⁻¹)ᵏ
证明:根据矩阵可逆的定义
Aᵏ(A⁻¹)ᵏ=(AA⁻¹)ᵏ=Eᵏ=E
所以,这个等式成立。
矩阵可逆的性质6如果矩阵A是可逆矩阵,那么|A⁻¹|=|A|⁻¹
证明:因为A为可逆矩阵,所以
AA⁻¹=E
从而,|AA⁻¹|=|A||A⁻¹|=|E|=1
进而,|A⁻¹|=1/|A|
即 A⁻¹|=|A|⁻¹
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