初三数学二次函数知识点总结（人教版九年级数学知识点总结）

第二十一章 一元二次方程

21.1 一元二次方程

在一个等式中，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是 2 次的整式方程叫做一元二次方程。

一元二次方程有四个特点： (1) 只含有一个未知数； (2) 且未知数次数最高次数是 2；(3) 是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程， 先看它是否为整式方程，

若是，再对它进行整理． 如果能整理为 ax bx c=O(a-::O) 的形式，则这个方程就为一元二次方程． （ 4）将方程化为一般形式： ax 2 bx c=O 时，应满足（

a-::O）

21.2 降次——解一元二次方程

1. 一元二次方程的解法

2

(1) 直接开平方法：根据平方根的意义，用此法可解出形如 x 2 a (a ?O)，(x a) b (b ? O) 类的

2

一元二次方程． x a ，则 x a ； (x a) b ， x a b ， x a b ．对有些一元二次方程，本

身不是上述两种形式，但可以化为 x 2 a 或(x a)2 b 的形式，也可以用此法解．

(2) 因式分解法：当一元二次方程的一边为零，而另一边易分解成两个一次因式的积时，就可用

此法来解．要清楚使乘积 ab=O 的条件是 a=O 或 b=O，使方程 x(x —3) =O 的条件是 x= O 或 x—3

= O．x 的两个值都可以使方程成立，所以方程 x(x — 3) =O 有两个根，而不是一个根．

2

(3) 配方法：任何一个形如 x

bx 的二次式，都可以通过加一次项系数一半的平方的方法配成一

个二项式的完全平方， 把方程归结为能用直接开平方法来解的方程． 如解 x 6x 7 O 时，可把方程

x 2 6x 6 7 6

化为 x 2 6x

7 ， 2

2 ，即 (x 3)2 2 ，从而得解．

注意： (1) ”方程两边各加上一次项系数一半平方”的前提是方程的二次项系数是 1．

(2) 解一元二次方程时，一般不用此法，掌握这种配方法是重点．

2

(3) 公式法：一元二次方程 ax bx c O (a -::O) 的根是由方程的系数 a、b、c 确定的．在 b 4ac O

x

b b

a

4ac

．用公式法解一元二次方程的一般步骤：

也先把方程化为一般形式，即 ax 2 bx c O (a -:: O) 的形式；

＠正确地确定方程各项的系数 a、b、c 的值( 要注意它们的符号 ) ；

＠计算 b 4ac O 时，方程没有实数根，就不必解了 ( 因负数开平方无意义 ) ；

＠将 a、b、c 的值代入求根公式，求出方程的两个根．

说明： 象直接开平方法、因式分解法只是适宜千特殊形式的方程，而公式法则是最普遍，最适用的方法．解题时要根据方程的特征灵活选用方法．

.

一元二次方程根的判别式

一元二次方程的根有三种情况： 也有两个不相等的实数根； ＠有两个相等的实数根； ＠没有实数

根．而根的情况，由 b2

4ac 的值来确定．因此 b 2 4ac 叫做一元二次方程 ax 2 bx c O 的根的判

别式．

,6>O 方程有两个不相等的实数根．

,6= O 方程有两个相等的实数根．

,6<O 方程没有实数根． 判别式的应用

(1)

不解方程判定方程根的情况；

,