恒等式求字母参数值（三角函数恒等式的加工厂）

关于虚数的历史，上篇文章我们讲到，韦塞尔慧眼识图，首次提出复平面的概念，把虚数领入数学的大舞台，从此，复数成了数学中不可缺少的工具，在这篇文章当中，我们将向你展示虚数的魅力，用虚数来轻松解决实数领域的难题。

当然，我们也少不了其中的历史故事。

首先要提到的是伟大的数学家和哲学家——莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz，1646-1716）。

莱布尼茨

如果你注意了我前一篇文章的各个时间点，你会知道莱布尼茨处在邦贝利（Rafacl Bombelli，1526-1572）用负数的开根号做运算，和韦塞尔（Caspar Wessel，1745-1818）提出虚数的几何意义之间。

莱布尼茨可是一位了不起的数学家，他和牛顿一样独立发明了微积分，至于谁优先至今没有定论，一般我们认为他们两人共同创立了微积分，那么他对虚数是如何看待的呢？

莱布尼茨得到的等式

“我想不起曾看到过一件从各方面分析都比这更为神奇和匪夷所思的事了，因为我认为我是把虚假的数，化解成实数的第一人……但我不理解，一个虚假的数或者说不可能的数，表示出来的量，怎么会是实数。”——然而这些疑惑，现在对于一位优秀的高中生来说，都是理所当然的。

如果你知道邦贝利在100多年前就做了同样的事，你会发现莱布尼茨居然“炒起了冷饭”，当然，这里我并不是贬低莱布尼茨，而是说明了莱布尼茨的结交面很窄，甚至可以说，他对当时的数学领域达到何种程度知之甚少，但这并不阻碍他对数学的贡献。

莱布尼茨去世后八十多年，韦塞尔才提出了复平面的概念，可韦塞尔并非职业数学家，那他为何能看穿虚数后面的真相呢？

这或许是他特殊的职业造就的机缘巧合成就了他的发现，韦塞尔是一位测绘人员，每天都要和测量、尺度、坐标（此时笛卡尔提出坐标系已有100多年）打交道，每天和坐标的接触或许启发了他，在我们看来，把虚数作为垂直于实数的另外一轴是理所当然的，但把虚轴立起来，的的确确耗费了数学家200多年，而韦塞尔是当之无愧的第一人。

复数的表示，一共有两种方式：复平面坐标和极坐标。

复数的平面坐标表示

平面坐标换算成极坐标

一旦我们有了极坐标的概念，那么虚数单位的复平面表示方式（0，i）我们还可以表示成：

虚数单位的极坐标表示

这个表示方式实在太重要了，以至于我们用实线围起来，因为这将引出一个非常实用的概念：辐角θ。

因为辐角有个非常好的性质，我们称之为：棣莫弗定理——指两个复数的乘积，等于其模相乘和辐角相加。（用三角函数形式表示为Z1=r1(cosθ isinθ），Z2=r2(cosφ isinφ），则：Z1*Z2=r1*r2[cos（θ φ） isin（θ φ）]

这个定理比韦塞尔的发现要早，是法国数学家棣莫弗(1667-1754)最先创立，虽然我们可以由韦塞尔的复平面概念轻松推导出来，但棣莫弗那时候还没有复平面的概念。

这就意味着，我们对高次幂和开方的运算将简便很多，比如：

（0.3 2.6i）^17=（2.61725）^17（83.418度×17）=12687322∠1418.1061度。

如果没有棣莫弗定理，那么对复数的自乘17次，我们需要对0.3 2.6i进行17次相乘，其繁琐程度让人崩溃。

我们还能用这个性质来做什么呢?——这是一个产生三角函数恒等式的超级加工厂！

想必大家还记得，高中时候，数学老师讲解正余弦的复合角公式吧，老师画了一个圆，标注了一堆辅助线和符号，相信大部分人当时是懵逼的。

今天，就让我来给大家看看，最简单的推导办法。

根据辐角原理，对于单位长度的2个复数相乘就有：

恒等式

那么写成三角函数形式就是：

三角函数

只需要把左边按照分配率展开，然后实部与实部相等，虚部与虚部相等，我们立马就得到：

正余弦求和公式

这是这个公式最简单的推导方法，怎么样？比起以前数学老师教的办法是不是快很多。

不止于此，同样的办法我们还可以继续使用：

三倍角公式

两边展开，然后实部与实部相等，虚部与虚部相等，我们立马就会得到正余弦的三倍角公式，屡试不爽，继续下去，四倍角，五倍角公式都不在话下。

其实，你还可以用虚数来做更多事，很多与圆周率有关的级数，我们都能用这个性质轻松推导出来，比如：

我们利用（2 i）（3 i）=5 5i

立马得到：arctan1/2 arctan1/3=π/4

然后左边按照泰勒级数展开，就得到一个关于圆周率的级数，这样的实例多得不得了，在没有虚数之前，推导出这样的级数是不容易的。

从虚数的发展史，我们看到，虚数经历了数学家的排斥，再到发现它的作用，再到理解它，最后发展出复变函数，花了差不多300多年，我们站在无数“巨人”的肩膀上，才得以有了现在的“理所当然”，但其中的艰辛和坎坷，又有多少人知晓！

由于篇幅有限，在我就不举更多例子了，这篇内容是应读者朋友们的需求，写的一篇虚数为基础的科普文，可能涉及一点复数的专业内容，需要一定数学基础才能全部理解，有兴趣的朋友们，还请自行去查阅相关文献，文献中会有更详细的介绍和解释。

好啦！以上就介绍到这里，有兴趣的读者朋友，可以点击关注我们，也给我们留言。

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