怎么引入数学中找规律问题（数学研习方法）

对于中小学的数学学习者而言，学习方法非常重要，用带着研究的方法去学习数学，其效果必然会事半功倍。

图1

美籍华人陈省身教授，是当代举世闻名的数学家，他十分关心祖国数学科学的发展，人们称赞他是"中国青年学子的数学总教练"。

1980年，陈教授在北京大学的一次讲学中语惊四座："人们常说，三角形的内角和是180度，但这是不对的。"

大家愕然，怎么回事？三角形的内角和是180度，这不是数学常识吗？接着，这位老教授对大家的疑问做出了精辟的解答：

说"三角形内角和为180度"不对，不是说这个事实不对，而是说这种看问题的方法不对，应当说"三角形的外角和是360度！"。

把眼光盯住内角，只能看到：

三角形的内角和是180度；

四边形的内角和是360度；

五边形的内角和事540度；

……

n边形的内角和是（n-2）×180度。

这就找到了一个计算内角和的公式，公式里出现了边数n。

如果看外角呢？

三角形的外角和是360度；

四边形的外角和是360度；

五边形的外角和是360度；

……

任意n边形的外角和都是360度。

这就把多种情形用一种简单的结论概括起来了。用一个与n无关的常数代替了与n有关的公式，找到了更一般的规律。

设想一只蚂蚁在多边形的边界上绕圈子（图2），每经过一个顶点，它前进的方向就要改变一次，改变的角度恰好是这个顶点处的外角。爬了一圈，回到原处，方向和出发时一致了，角度改变量之和恰好是360度。

图2

这样看问题，不但给"多边形外角和等于360度"这条普遍规律找到了直观上的解释，而且立刻把我们的眼光引向了更广阔的天地。

一条凸的闭曲线——卵形线，谈不上什么内角和与外角和。可是蚂蚁在上面爬的时候，它的方向也在时时改变。它爬一圈，角度改变量之和仍是360度（图3）。

图3

"外角和为360度"，这条规律适用于凸封闭曲线！不过，叙述起来， 要用"方向改变量之和"来代替"外角和"罢了。

对于凹多边形，就要把"方向改变量总和"改为"方向改变量的代数和"（图3）。不妨约定：逆时针旋转的角为正角，顺时针旋转的角为负角。当蚂蚁在图示的凹四边形的边界上爬行的时候，在A1，A2，A4处，由方向改变所成的角是正角：∠1，∠2，∠4；而在A3处，由方向改变所成的角是负角：∠3。如果仔细计算一下，这四个角正负抵消，代数和恰好是360度。

图4

从普通的、众所周知的事实出发，步步深入、推广，挖掘出广泛适用的深刻规律，对一个普通的数学学习者来说，是一个提升数学基础的好方法，也有助于培养穷追不舍、孜孜以求探索真理的精神。