高一数学必修一第四章第三课时（必修一-第1章1.3）

第2课时　补集学 习 目 标，下面我们就来聊聊关于高一数学必修一第四章第三课时?接下来我们就一起去了解一下吧!

高一数学必修一第四章第三课时

第2课时　补集

学 习 目 标	核 心 素 养
1.了解全集的含义及其符号表示．(易混点) 2．理解给定集合中一个子集的补集的含义，并会求给定子集的补集．(重点、难点) 3．会用Venn图、数轴进行集合的运算．(重点)	1.通过补集的运算培养数学运算素养． 2．借助集合思想对实际生活中的对象进行判断归类，培养数学抽象素养.

1．全集

(1)定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．

(2)记法：全集通常记作U.

思考：全集一定是实数集R吗？

提示：全集是一个相对概念，因研究问题的不同而变化，如在实数范围内解不等式，全集为实数集R，而在整数范围内解不等式，则全集为整数集Z.

2．补集

文字语言	对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作∁UA
符号语言	∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}
图形语言

1．已知全集U＝{0,1,2}，且∁UA＝{2}，则A＝(　　)

A．{0}　　 B．{1}

C．∅ D．{0,1}

D　[∵U＝{0,1,2}，∁UA＝{2}，

∴A＝{0,1}，故选D.]

2．设全集为U，M＝{0,2,4}，∁UM＝{6}，则U等于(　　)

A．{0,2,4,6} B．{0,2,4}

C．{6} D．∅

A　[∵M＝{0,2,4}，∁UM＝{6}，

∴U＝M∪∁UM＝{0,2,4,6}，故选A.]

3．若集合A＝{x|x>1}，则∁RA＝________.

{x|x≤1}　[∵A＝{x|x>1}，

∴∁RA＝{x|x≤1}．]

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补集的运算

【例1】　(1)已知全集为U，集合A＝{1,3,5,7}，∁UA＝{2,4,6}，∁UB＝{1,4,6}，则集合B＝________；

(2)已知全集U＝{x|x≤5}，集合A＝{x|－3≤x<5}，则∁UA＝________.

(1){2,3,5,7}　(2){x|x<－3或x＝5}　[(1)法一(定义法)：因为A＝{1,3,5,7}，∁UA＝{2,4,6}，所以U＝{1,2,3,4,5,6,7}．

又∁UB＝{1,4,6}，

所以B＝{2,3,5,7}．

法二(Venn图法)：满足题意的Venn图如图所示．

由图可知B＝{2,3,5,7}．

(2)将集合U和集合A分别表示在数轴上，如图所示．

由补集的定义可知∁UA＝{x|x<－3或x＝5}．]

求集合的补集的方法

(1)定义法：当集合中的元素较少时，可利用定义直接求解.

(2)Venn图法：借助Venn图可直观地求出全集及补集.

(3)数轴法：当集合中的元素连续且无限时，可借助数轴求解，此时需注意端点问题.

1．(1)设集合A＝{x∈N*|x≤6}，B＝{2,4}，则∁AB等于(　　)

A．{2,4}　　　　 B．{0,1,3,5}

C．{1,3,5,6} D．{x∈N*|x≤6}

(2)已知U＝{x|x>0}，A＝{x|2≤x<6}，则∁UA＝______.

(1)C　(2){x|0<x<2，或x≥6}　[(1)因为A＝{x∈N*|x≤6}＝{1,2,3,4,5,6}，B＝{2,4}，所以∁AB＝{1,3,5,6}．故选C.

(2)如图，分别在数轴上表示两集合，则由补集的定义可知，∁UA＝{x|0<x<2，或x≥6}．]

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集合交、并、补集的综合运算

【例2】　设全集为R，A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，求∁RB，∁R(A∪B)及(∁RA)∩B.

[解]　把集合A，B在数轴上表示如下：

由图知∁RB＝{x|x≤2，或x≥10}，A∪B＝{x|2<x<10}，所以∁R(A∪B)＝{x|x≤2，或x≥10}．

因为∁RA＝{x|x<3，或x≥7}，

所以(∁RA)∩B＝{x|2<x<3，或7≤x<10}．

解决集合交、并、补运算的技巧

(1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解.在解答过程中常常借助于Venn图来求解.

(2)如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算.解答过程中要注意边界问题.

2．全集U＝{x|x<10，x∈N*}，A⊆U，B⊆U，(∁UB)∩A＝{1,9}，A∩B＝{3}，(∁UA)∩(∁UB)＝{4,6,7}，求集合A，B.

[解]　法一(Venn图法)：根据题意作出Venn图如图所示．

由图可知A＝{1,3,9}，B＝{2,3,5,8}．

法二(定义法)：(∁UB)∩A＝{1,9}，(∁UA)∩(∁UB)＝{4,6,7}，∴∁UB＝{1,4,6,7,9}．

又U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，

∴B＝{2,3,5,8}．

∵(∁UB)∩A＝{1,9}，A∩B＝{3}，

∴A＝{1,3,9}．

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与补集有关的参数值的求解

[探究问题]

1．若A，B是全集U的子集，且(∁UA)∩B＝∅，则集合A，B存在怎样的关系？

提示：B⊆A.

2．若A，B是全集U的子集，且(∁UA)∪B＝U，则集合A，B存在怎样的关系？

提示：A⊆B.

【例3】　设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2<x<4}，全集U＝R，且(∁UA)∩B＝∅，求实数m的取值范围．

[思路点拨]　法一：结合数轴∁UA∩B＝∅

法二：

[解]　法一(直接法)：由A＝{x|x＋m≥0}＝{x|x≥－m}，得∁UA＝{x|x<－m}．

因为B＝{x|－2<x<4}，(∁UA)∩B＝∅，

所以－m≤－2，即m≥2，

所以m的取值范围是{m|m≥2}．

法二(集合间的关系)：由(∁UA)∩B＝∅可知B⊆A，

又B＝{x|－2<x<4}，A＝{x|x＋m≥0}＝{x|x≥－m}，

结合数轴：

得－m≤－2，即m≥2.

1．(变条件)将本例中条件“(∁UA)∩B＝∅”改为“(∁UA)∩B＝B”，其他条件不变，则m的取值范围又是什么？

[解]　由已知得A＝{x|x≥－m}，所以∁UA＝{x|x<－m}，又(∁UA)∩B＝B，所以－m≥4，解得m≤－4.

2．(变条件)将本例中条件“(∁UA)∩B＝∅”改为“(∁UB)∪A＝R”，其他条件不变，则m的取值范围又是什么？

[解]　由已知A＝{x|x≥－m}，

∁UB＝{x|x≤－2或x≥4}．

又(∁UB)∪A＝R，

所以－m≤－2，解得m≥2.

由集合的补集求解参数的方法

(1)如果所给集合是有限集，由补集求参数问题时，可利用补集定义并结合知识求解.

(2)如果所给集合是无限集，与集合交、并、补运算有关的求参数问题时，一般利用数轴分析法求解.

1．求某一集合的补集的前提必须明确全集，同一集合在不同全集下的补集是不同的．

2．补集作为一种思想方法，为我们研究问题开辟了新思路，在正向思维受阻时，改用逆向思维，如若直接求A困难，则使用“正难则反”策略，先求∁UA，再由∁U(∁UA)＝A求A.

1．思考辨析

(1)全集一定含有任何元素．(　　)

(2)集合∁RA＝∁QA.(　　)

(3)一个集合的补集一定含有元素．(　　)

[答案]　(1)×　(2)×　(3)×

2．U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，则(∁UA)∪B为(　　)

A．{1,2,4}　　 B．{2,3,4}

C．{0,2,3,4} D．{0,2,4}

D　[∵∁UA＝{0,4}，B＝{2,4}，∴(∁UA)∪B＝{0,2,4}．]

3．设集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，则(∁RS)∪T等于(　　)

A．{x|－2<x≤1} B．{x|x≤－4}

C．{x|x≤1} D．{x|x≥1}

C　[因为S＝{x|x>－2}，

所以∁RS＝{x|x≤－2}．

而T＝{x|－4≤x≤1}，

所以(∁RS)∪T＝{x|x≤－2}∪{x|－4≤x≤1}＝{x|x≤1}．]

4．已知全集U＝{2,0,3－a2}，U的子集P＝{2，a2－a－2}，∁UP＝{－1}，求实数a的值．

[解]　由已知，得－1∈U，且－1∉P，

因此

解得a＝2.

当a＝2时，U＝{2,0，－1}，

P＝{2,0}，∁UP＝{－1}，满足题意．

因此实数a的值为2.

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