高考数学最后一道大题第一问解法（高考数学中一件神奇的事情）

#创作挑战赛#

2022年新高考数学全国卷II的立体几何单选题，是一道关于三棱台和球体的问题：

已知正三棱台的高为1，上下底面的边长分别为3√3和4√3, 其顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为

A. 100π； B. 128π; C. 144π； D. 192π.

分析：如果忽略数据，这里其实是有两种情形的。一种情形是三棱台的两个底面分布在球心的上下两侧，如下图：

另一种是两个底面都在球心的上方。

在没有得到答案之前，无法直接明确到底属于哪一种情形。因此我们先分析第一种情形。观察图形，可以发现，这道题可以利用OM OM'等于三棱台的高来解决，所以需要求得CM，和C'M'，就可以在OM和OM'各自所在的直角三角形中，运用勾股定理，把它们都表示出来。从而列得一个关于球体半径R的方程。解方程，得到R的值，自然能求球体的表面积了。

为此老黄把三棱台的上底面放在平面上分析。如下图：

图中点M是正三角形ABC的中心，CM就等于正三角形边长除以根号3，这个关系可以让你更快速地解决问题，求得CM=3.

我们不需要从下底面求C'M'，只需要利用正三角形相似的原理，就可以求得C'M'等于相似比乘以CM，结果等于4。

现在就可以在直角三角形OC'M'中运用勾股定理，用含半径R的式子表示OM'了，同理也可以表示出OM。

列它们的和等于三棱台的高，也就是等于1，得到一个关于R的方程。结合球体的表面积公式。以及四个选项中，可以发现最小的R^2在A选项，等于25，但把R^2等于25代入上式，结果不等于1，而是等于7，所以这种情形是不正确的。

只好换成第二种情形，两个底面都在球心O的上方来探究。

此时OM-OM'才等于三棱台的高。结合球体的表面积公式，可以不必解上面的方程，直接检验四个选项，就可以知道，A选项的确是正确的。事实上BCD选项都不需要检验。不过都检验一下，会比较妥当。

现在回过头来看看，第一种情形真的解不出答案来吗？我们对方程两边同时平方，然后移项合并同类式，使等式的一侧只有一个根式，再同时平方，化简，也可求得，R^2=25。

最后利用球体的平面积公式，也是可以得到答案的。

无疑，R^2=25是后面这个方程的增根，然而在这种问题中，增根往往就是实际问题的答案，这真是一件非常神奇的事情。因此如果不是解答题，只是选择或填空，我们可能并不需要分成两种情形去探究。就算选错了情形，得到的增根也会是实际问题的答案。这是为什么，你能明白其中的道理吗？