求sinxcosx的不定积分（不定积分sinxsin3xcos2xdx的计算）

本文通过三角函数的积化和差公式，以及不定积分的凑分法、三角函数导数公式，介绍不定积分∫sinxsin3xcos2xdx计算的主要步骤。

※.先期使用同名三角函数积化和差

此时使用公式sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α β)-cos(α-β)]，cosα·cosβ=(1/2)[cos(α β) cos(α-β)]等，步骤如下：

∫sinxsin3xcos2xdx

=-∫(1/2)(cos4x-cos2x)cos2xdx

=-(1/2)∫(cos4xcos2x-cos2xcos2x) dx

=(1/2)∫(cos2x)^2dx-(1/2)∫cos4xcos2xdx，继续使用三角函数积化和差公式有：

=(1/4)∫(cos4x 1)dx-(1/4)∫(cos6x cos2x)dx，积分裂项成四项可有：

=(1/4)∫cos4xdx (1/4)∫dx-(1/4)∫cos6xdx-(1/4)∫cos2xdx，对四个积分部分进行凑分，可有：

=(1/16)∫cos4xd4x (1/4)x-(1/24)∫cos6xd6x-(1/8)∫cos2xd2x，

=(1/16)sin4x (1/4)x -(1/24)sin6x-(1/8)sin2x C。

※.首先使用异名三角函数积化和差

此时使用公式sinα·cosβ=(1/2)[sin(α β) sin(α-β)]变形，步骤如下：

∫sinxsin3xcos2xdx

=(1/2)∫sinx(sin5x sinx)dx，积分部分乘积展开，可有：

=(1/2)∫(sinxsin5x sinxsinx)dx，积分裂项为两项，

=(1/2)∫sinxsin5xdx (1/2)∫(sinx)^2dx，再使用同名三角函数积化和差有：

=-(1/4)∫(cos6x-cos4x)dx-(1/4)∫(cos2x-1)dx，此时积分裂项为四项有：

=-(1/4)∫cos6xdx (1/4)∫cos4xdx- (1/4)∫cos2xdx (1/4)∫dx，对四个积分部分进行凑分，可有：

=-(1/24)∫cos6xd6x (1/16)∫cos4xd4x- (1/8)∫cos2xd2x (1/4)x，

=-(1/24)sin6x (1/16)sin4x- (1/8)sin2x (1/4)x C。