高中数学函数知识大总结（高考数学第4讲函数学）

函数是高中数学的重点和难点模块，考察题目难度有高有低，相对来说比较抽象，也可以说是整个高中数学学习的基础模块，函数学不好，其他部分很难有所突破。因为函数部分内容较多，我们要分 3 课时完成整体知识树的构建。函数（上）包括函数的概念与性质，函数（中）包括三大基本初等函数中前两个的性质学习，基本初等函数有指数函数、对数函数、幂函数。我们先学习前两个。函数（下）主要学习剩余的幂函数和函数零点问题。

函数属于CBA 方法中的B——branch 类，高考出题可以说几乎渗透到所有题目当中，有点隐形人的感觉，你不能非常明确地看到他， 但是他却一直围绕在你身边。函数知识点中，细微的小陷阱很多，而且题目会向纵深考察知识点的运用，学习时必须开动脑筋，既注意细节又要练习深入思考，难度的确很大。准备好了吗？Let’s go！

先来了解一下函数模块知识的总体特点。1、“抽象又狡猾”；2、“纵深化分布”；3、“图像为王”。

1、函数部分的知识点相对比较抽象，各个知识点之间的界限有点模糊，还经常综合起来一起考。这就导致做题时会“凭感觉”，因此，函数非常需要知识树来帮助你理清思维。狡猾的意思是，学习知识点时觉得懂了，做题时候就是“想你时知识点在脑海，用你时解题方法在天涯”。知识点和解题之间联系不上，还经常交叉使用。举个例子，给你一把锤子，直接让你坐个板凳出来…我现在又给你一个螺丝刀，还是让你做个板凳出来…你会问刚才不是说好用锤子做板凳的吗？当然，锤子我也不会用。函数解题就是这个特点。

2、函数知识的分布主要是纵深式的，知识树的每条分支都比较长，运用起来需要从知识树的一条分支入手，不断深入找下去，一直找到最后与解题相关的部分。很累，大脑容易“抽筋”。

3、敲黑板！函数学习唯一的王道是：画图像！抽象又纵深发展的知识点非常烧脑，如何保护一下我们的大脑？当然是图像！当一个函数图像出现了，我们就可以看图说话了，单调性、奇偶性、周期性等等，一目了然，图像是把函数抽象的知识点和具体的解决方法结合

起来的利器，所以现在先提出一个要求，不管是否需要画图，遇到函数就尝试着画一画图像，这会让你的解题越来越快，思维压力也越来越小。

现在我们正式进入函数的第一部分——概念与性质。先了解一下函数概念和性质的本质，我们不谈那些书本上的说辞，直接说最接地气的。想一下什么是函数？就是两个量之间的关系，给出x，

给出关系式，就能求 出y 值。那么从这里开始，我们就要养成深入思考的能力，在这里不只是给出 x 才能求出y 值，如果给出 y 值一样能求出x 值。这两者是可以互相推算的。这也就是后面我们要提到的定义域和值域的问题。

函数性质。单调性、奇偶性、周期性、对称性，其实就是能够理解的你把图像画得准确的各种特点。这些都为图像服务，图像也为各种性质服务，大家相互服务，很和谐。

接下来，让我们来看看函数的题目到底是为了求些什么， 知道了这些，才知道你要总结什么。总体来讲，函数就是先尽量把图像画出来，然后，1、研究图的各种特点，比如高、矮、胖、瘦、硬朗还是柔和、连续还是断开等；2、研究图像上点、线段之间的关系， 或者是他们跟坐标轴之间的关系，比如说谁大谁小，谁长谁短，还有跟x 轴有没有交点，有几个，这不就是零点问题了嘛。

下面我们把函数的整体体系先了解一遍。说起函数，你会觉得很熟悉，数学处处皆函数，但是如果我问，函数都学了什么呀？现在想想，能说得全吗？我想一定不能，基本都是只能说某几个知识点，而且排列还非常混乱。函数知识很多，又抽象，就会造成这种现象。首先还是要明确一个原则，画图！画图！画图！重要的事情说三遍。整个函数学习的过程，画图画得好就已经成功了一半。接下来我们来捋顺一下知识树的结构。

函数首先要学习概念和性质，其中概念就包括构成函数的三大要素，定义域，解析式，值域。其中最重要的是前两个，定义域和解析式，定义域是他伴随产物，是有前两者才随之产生的值域。然后我们要学习性质，单调、奇偶、周期、对称。这些性质是什么，听起来很抽象，我们来翻译一下，就是我刚才讲的，这些性质就是在描述函数图像的形状，高了矮了胖了瘦了，上升了下降了等等。这是对函数一个整体的基本认识，也是这节课我们要全面掌握的内容。

接下来，掌握了函数这些有点抽象的性质之后，我们要看看例子了，所以函数第二大块就是我们要见识几个基本初等函数。函数有千千万万种，我们初中学过了直线、抛物线等，高中就是再多见几个而已。因此，我们选取比较有特色的三个，指数函数、对数函数、幂函数。我们要按照概念与性质的顺序，分别了解这三种函数。

最后，函数了解了概念性质、见过了经典的例子，又该笼统研究一下所有函数跟坐标轴之间的关系了，这是把函数图像具体“钉” 在坐标轴上，我们只要研究函数与x 轴之间的关系，这就是零点问题。零点问题在这里，还是继续强调，有图像才有得解。这些都学完后，我们数学的很多章节都会有数学知识在日常生活中的应用，函数也不例外，因此我们需要了解一些函数模型在生活中的应用。这个非常广泛， 比如市场上卖菜、比如建筑上修桥修路，都会用到函数模型，高中阶段我们只简单涉猎一点就可以，不是高考重点。但是，学而用之，应该是你学习所有知识的最终归宿，这个习惯高中阶段或许你没有时间养成，但是到大学以后，务必时刻遵循这个原则，学完知识要知道应用在现实生活的方方面面。接下来，我们看一下函数概念与性质的总体知识树，（这里不必看细节）。概念与性质分区非常明显，概念包括三大要素，定义域、解析式和值域，性质主要是 4 大性质，从考察频率来排序就是单调性、奇偶性、周期性、对称性，至于反函数，讲的是函数关于y=x 对称的一种特殊情况，我们在这里一并介绍一下。总图看起来是不是非常庞大？但是知识点并不算难，一点一点梳理之后你的大脑就会非常清晰了。

让我们先来梳理函数的概念，刚才已经说过好几次， 就是 3 大天王，不，是 3 大要素。定义域、解析式和值域。

先从定义域开始，我们直接上干货，求一个函数的定义域出题点就是围绕 3 个符号，分数线、根号、对数。这三者出现的时候，分数分母不能为零，根号内部必须≥0，对数函数的真数必须＞0。高考题不可能一种出一道题，所以最常见的就是三种符号同时出现，这时候务必细心，必须三个条件要同时满足。所以，这里我建议要记住个数，比如定义域要记住有 3 种符号，每次做题都要把 3 个符号过一遍，题目里发现一个就标出一个，这样就不会遗漏了。定义域这里还有一个小知识点，就是抽象函数定义域求法，这里要明确一个事，就是定义域的定义！定义域永远是当下函数内自变量（也就是x）的取值范围，比如 f（x）的定义域指 x 的范围，f（2x-3） 的定义域，指的也是它里面那个 x 的范围。可能你做函数最怕遇到抽象问题，那么这里有一句口诀供你使用。抽象函数定义域问题，只要记住：“在同一个函数法则下，小括号内的东西范围是永远一样的”！举个例子，f（x）定义域为[1,3],求 f（2x-3）的定义域，按照口诀， 这两个函数都是f 法则，法则一样，所以小括号内的东西范围一致， f（x）小括号内只有 x，所以小括号的范围就是[1,3]，f（2x-3）呢， 小括号内的 2x-3 就应该在[1,3]内，所以 1≤2x-3≤3，解出来 x 的范围就是f（2x-3）的定义域了。

这里小小总结一下，函数部分我们做出知识树，就是防止你在做题的时候还是想起来什么用什么，现用现想。你要知道一共有几种情况，而题目里出现的是哪种情况，养成这种严谨的思维习惯，数学才能循序渐进的提高。因为做数学题，很大程度取决于你思维的严谨程度，函数这块就非常侧重考察这个能力，加上知识点细小又抽象，经常把各种知识点混合在一起考，如果没有知识树梳理，你就会想起这个点，却忘了那个点，永远想不全。有没有戳中你？哈哈，不必急着回答我，可以默默流泪。现在我把各种情况都给你了，并且梳理了， 你就没有理由再想不全了，对不对？

接下来，我们要研究第 2 个要素，解析式。这里图像比较大，所以单独放一页。解析式仿佛没什么可说的，我想在学校课堂上，或许老师也都是一带而过的。但是，这里才是我说的“画图王道”的开始，我不会重点训练你对解析式的计算，a b 啊，x y 啊， 太抽象了，越研究就越抽象，越研究也越“抽筋”。我现在要开始训练你看着解析式画图的能力，因为最终解题关键是要归结到图像上面的。我们先了解几种基本函数图形的画法：

1、直线。直线觉得谁都会画是不是？直线到底能怎么画？想过吗？那我们就彻底归纳一下，直线到底有几种？4 种对吧？增的，减的，斜率不存在的，斜率为 0 的。为什么直线我要讲这么细，你可能觉得没必要，但是等你开始解直线和圆的问题的时候，解圆锥曲线问题的时候，回想一下，多少次都被讨论直线斜率是否存在坑了？经常不知道什么时候讨论直线斜率呢？为什么总是忘记讨论呢？就是因为从一开始，你对直线的认知就不全面，觉得太简单，从来没总结过。现在我们就总结一下，直线一般有 4 种存在的形态，两种斜的形态是最常见的，横平和竖直是特殊情况，尤其是竖直时，斜率k 不存在。在函数这里就养成对各类图形全面思考的习惯，以后做大题才知道为什么要讨论，因为我只要遇到直线的时候，就会先想到它有 4 种形态， 再根据题目判断，到底可以使用的是哪几种。通常情况下 k 存在的我们归纳为一类，k 不存在的单独为一类。这样以后再遇到直线讨论问题，你是不会忘记的，因为你看见直线的第一眼，就在考虑它的形态可以属于哪类。

2、抛物线。这个都非常熟悉了，y=ax² bx c，分 2 种，开口朝上（a＞0）和开口朝下（a＜0）。其他确定图像位置的有对称轴x=-b/2a,还有△=b²-4ac，△＞0 则图像与 x 轴有 2 个交点，△=0 则图像与 x 轴有 1 个交点，△＜0 则图像与x 轴没有交点。

3、反比例函数。这个也分 2 种情况，k＞0，就是左图，k＜0 就是右图。

4、对勾函数。f（x）=ax b（a＞0，b＞0），这种函数图像也非x常常见，要按照图例学会画出来。

5、带绝对值的函数。我们这里以 y=丨x 丨为例，推演到所有外部带绝对值的函数图像画法，就是把 x 轴下方的部分，对称着翻折上去。

再总结 2 个画图规则

（1）f（x）与f（-x）图像是关于y 轴对称的。

（2）f（x）与-f（x）的图像是关于x 轴对称的。

最后，我们画的很多图像还需要左右上下移动，那么口诀再复习一遍：上加下减，左加右减。这里的上下移动是指对整个函数的y 值进行加减，而左右移动是指对 x 本身进行加减。不要觉得自己很熟悉， 这里很容易掉进坑里，举个例子，y=ln（2-x）图像是由y=lnx 图像是如何移动得到的？首先 y=lnx 关于 y 轴对称，可以得到 y=ln（-x） 图像，那继续怎么挪动可以得到 y=ln（2-x）图像呢？向左还是向右？ 其实是向右对不对！y=ln（-（x-2）），只有这样才能得到 y= ln（2-x）。所以这些细节都是需要反复练习的地方。函数概念的第 3 个要素是值域，这个不用过多介绍，就是定义域和解析式确定了，值域自然有，画图更清晰~

概念清晰之后，我们来看看函数的 4 大重要性质吧。第一个单调性。这是函数最最重要和高频使用的性质了，我们

按照三步走来思考如何求一个函数单调性。首先拿来一个函数，第一步你一定会想这个函数我是否熟悉，是不是简单函数，比如直线，抛物线，他们的单调性你都不需要多想，图像非常熟悉，在脑海里就画出来了，然后直接说出单调性。这里二次函数的单调性要强调一下， 二次函数的单调性问题主要看对称轴在要求的区间里面还是外面，如果对称轴在给出的区间内部，则这个区间内函数不单调，如果对称轴在给出的区间外，则函数在这个区间内就单调。这就是我们常说的动轴定区间和定轴动区间的问题。另外，还有一个小结论务必记住，有一类题目是求在某个区间内，二次函数的函数值≥0 或者≤0，这时候不要考虑对称轴和△了，直接让端点的函数值同正或者同负即可求出你想要的参数范围。

第二步，就是研究稍微复杂一点点的复合函数，比如两个简单函数要加减乘除等等，这时候回忆一下口诀：负号会完全改变一个函数的单调性，-减=增，-增=减。如果遇到加减乘除的情况，只有增 增=增，减 减=减，这两个公式可以直接使用。这里如果是增-减呢？ 那就可以转化为增 增，所以仍为增函数。嵌套式 f（g（x））口诀是：同增异减。就是里层和外层函数单调性如果相同，那整体就是增函数， 如果里外不同，那整体就是减函数。第三步，如果是更复杂的函数， 那上面的口诀也用不了了，该怎么判断单调性呢？这时候就引出了我们最强大的单调性武器——导数。这里就变成导数问题了，我们会在导数部分具体讲解。不过这里你要有个基本的印象，导数是为了服务函数而产生的工具。

第二奇偶性。从这里开始，口诀和公式就越来越少。基本特点： 奇函数-f(x)=f(-x),图像关于原点对称，而且 f（0）=0。偶函数f(x)=f(-x),图像关于 y 轴对称。复合函数奇偶性呢？还是记住几句口诀，1、系数不改变函数的奇偶性，比如一个奇函数乘 3 还是½，这并不改变它本身的对称性，所以还是奇函数。2、奇±奇=奇，偶±偶=偶，奇±偶无法直接判断奇偶性。3、f（x）g（x）或者f（x），这g（x）种乘除形式记住同偶异奇。就是两者奇偶性相同，整体就是偶函数， 两者奇偶性不同，整体就是奇函数。4、嵌套式f（g（x））口诀是：嵌套遇偶则偶。就是里层或外层，只要有一个是偶函数，整体就是偶函数。这几句口诀务必记住。

第三周期性。周期性只需要记住这里展示的最基础公式，我知道你还学过很多关于周期性的公式，这里有个好消息，不要背那些了， 因为背也背不准，准了也未必直接用。只要记得，出现感觉像是周期性的公式，只要去试里面出现的常数a 的 2 倍即可，大部分情况下， 最终的周期很可能 2a。举例-f（x）=f（x 4），给出这个条件，我们猜周期大概会是 8，那就想办法构造 f（x 8），我们在等式里面把 x全部换成 x 4，原式就会变成-f（x 4）=f（x 8），而根据原始，-f（x 4）=f（x），所以就得出 f（x）=f（x 8）。周期的确验证为 8。我们只需要掌握到这种程度就可以了。

第四对称性。对称性更是一个非常抽象的东西。依然只需要掌握图中给出的基础公式，另外掌握一个对称点的求法，如果求某点关于直线的对称点，知道有 2 个条件可用，一是两点连线与直线垂直， 二是两点的中点在直线上。

函数的概念与性质