每天必考的脑细胞题（高智商才能做的高数题）

这是网友提问的一道高数题，顺带分享给大家，有什么更好的解法不妨分享一下。

已知函数f(x)=ax b/x c(a>0)的图象在点(1, f(1))处的切线方程为y=x-1.

(1)用a表示b, c;

(2)若f(x)≥lnx在[1, ∞)上恒成立, 求a的取值范围.

解：(1)f’(x)=a-b/x^2，

∵f’(1)=a-b=1，∴b=a-1.

又f(1)=a b c=2a c-1,

将(1,2a c-1)代入y=x-1得, 2a c-1=0,

∴c=1-2a.

【第一小题是送分题，真正难的是第二小题】

(2)由(1)得f(x)=ax (a-1)/x-2a 1 (a>0) ，

当ax (a-1)/x-2a 1-lnx≥0时，成立.

不等式可转化为：a(x-1)^2≥xlnx-x 1..

当x=1时, 不等式成立（左右两边相等），从而结论成立；

当x>1时, a≥(xlnx-x 1)/(x-1)^2., 【上面的不等式两边同时除以(x-1)^2。依题意不需要考虑x<1的情况】

记h(x)=(xlnx-x 1)/(x-1)2, 则

则h’(x)=)=(2(x-1)-(x 1)lnx)/(x-1)^3,【这里运用了商的求导公式，需要仔细化简】

∵lnx≥2(x-1)/(x 1), (x≥1)【这是这道题最关键的一步，这是一个关于lnx的不等式，这个不等式并不太常用，一定要好好掌握起来】

∴h’(x)≤0. 【将lnx缩放成2(x-1)/(x 1)，分子的减数变小，分式变大，分式化简之后等于0】.

即h(x)在[1, ∞)上单调减.

【因为h(1)不存在，所以h(x)在[1, ∞)的最大值在无限接近x=1的地方，因此要用极限求这个最大值】

∴a≥h(1)=lim(x->1)((xlnx-x 1)/(x-1)^2)=lim(x->1)lnx/(2(x-1))=lim(x->1)1/(2x)=1/2.

【求极限的过程运用了洛必达法则，即当分式的分子分母极限都是无穷大或都是0时，就可以对分子分母同时求导，直至分母的极限存在为止】

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