中考必考的几何模型(中考专题新初三必看)

【中考专题】新初三必看~中考几何常见模型图及结论

中考专题模型

8字模型与飞镖模型

模型1 角的8字模型

中考必考的几何模型(中考专题新初三必看)(1)

条件:ACBD相交于点O,连接ADBC.

结论:AD=∠BC.


小结:(1)因为这个图形像数字8,所以我们把这个模型称之为8字模型.

(2)8字模型往往在几何综合题中推导角度时用到.

模型2 角的飞镖模型

中考必考的几何模型(中考专题新初三必看)(2)

如图所示

结论:D=∠ABC.

小结:(1)因为这个图形像飞镖,所以我们把这个模型称之为飞镖模型.

(2)飞镖模型往往在几何综合题中推导角度时用到.

模型3 边的8字模型

中考必考的几何模型(中考专题新初三必看)(3)

条件:如图所示,AC, BD相交于点O,连接ADBC.

结论:AC BD>AD BC.

模型4 边的飞镖模型

中考必考的几何模型(中考专题新初三必看)(4)

如图所示

结论:AB AC=BD CD.

角平分线模型

模型1 角平分线上的点向两边作垂线

中考必考的几何模型(中考专题新初三必看)(5)

条件:如图,P是∠MON的平分线上一点,过点FPAOM于点A, PBON于点B.

结论:PB=PA.


小结:利用角平分线的性质:角平分线上的点到角两边的距离相等,构造模型,为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件,进而可以快速找到解题的突破口.

模型2 截取构造对称全等

中考必考的几何模型(中考专题新初三必看)(6)

条件:如图,P是∠MON的平分线上一点,点A是射线OM上任意一点,在ON上截取OB=OA,连接PB.

结论:OPB≅△OPA.


小结:利用角平分线图形的对称性,在角的两边构造对称全等三角,可以得到对应边、对应角相等.利用对称性把一些线段或角进行转移,这是经常使用的一种解题技巧.

模型3 角平分线 垂线构造等腰三角形

中考必考的几何模型(中考专题新初三必看)(7)

条件:如图,P是∠MON的平分线上一点,APOPP点,延长APON于点B.

结论:AOB是等腰三角形.


小结:构造此模型可以利用等腰三角形的“三线合一”,也可以得到两个全等的直角三角形,进

而得到对应边、对应角相等.这个模型巧妙地把角平分线和三线合一联系在一起.

模型4 角平分线 平行线=等腰三角形

中考必考的几何模型(中考专题新初三必看)(8)

条件:如图,P是∠MON的平分线上一点,过点P

PQ//ON,交OM于点Q,

总结:POQ是等腰三角形.

小结:有角平分线时,常过角平分线上一点作角的一边的平行线,构造等腰三角形,为证明结

论提供更多的条件,体现了角平分线与等腰三角形之间的密切关系.

双角平分线模型

模型1 “内内”双角平分线模型

中考必考的几何模型(中考专题新初三必看)(9)

条件:BPCP为角平分线.

结论:BPC=90° 1/2∠A.

模型2 “外外”双角平分线模型

中考必考的几何模型(中考专题新初三必看)(10)

条件:BPCP为角平分线.

结论:BPC=90°-1/2 ∠A.

模型3 “内外”双角平分线模型

中考必考的几何模型(中考专题新初三必看)(11)

条件:BPCP为角平分线.

结论:BPC=1/2 ∠A.

模型4 “8字型”下的双角平分线模型

中考必考的几何模型(中考专题新初三必看)(12)

条件:BPCP为角平分线.

结论:P= (∠AD).

模型5 同旁内角的双角平分线模型

中考必考的几何模型(中考专题新初三必看)(13)

条件:BOAO为角平分线,CDABADBC.

结论:AOB=90°,OD=OC,AB=AD BC.

模型6 凹四边形的双角平分线模型

中考必考的几何模型(中考专题新初三必看)(14)

条件:BE、DE为角平分线,BEAD于点G.

结论:E= (∠A-∠C).

截长补短模型

模型:截长补短

中考必考的几何模型(中考专题新初三必看)(15)

如图①,若证明线段ABCDEF之间存在

EF=AB CD,可以考虑截长补短法.

截长法:如图②,在EF上截取EG=AB,再证明

GF=CD即可.

补短法:如图③,延长至H点,使BH=CD,

再证明AH=EF即可.

手拉手全等模型

模型1 一般等腰三角形

中考必考的几何模型(中考专题新初三必看)(16)

条件:AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE.

结论1:ABD≅△ACE.


中考必考的几何模型(中考专题新初三必看)(17)

条件:等腰△ABC和等腰△ADE,∠BAC=∠DAE(顶角相等).

结论2:第三边所成的夹角∠BFC=∠BAC(8字型模型可推出)且四点共圆.

中考必考的几何模型(中考专题新初三必看)(18)

条件:等腰△ABC和等腰△ADE,∠BAC=∠DAE(顶角相等).

结论3:FA平分∠BFE.(利用面积法以及角的平分线的判定定理).

中考必考的几何模型(中考专题新初三必看)(19)

条件:等腰△ABC和等腰△ADE,∠BAC=∠DAE(顶角相等),PQ分别为BDCE的中点.

结论4:APQ是等腰三角形.

中考必考的几何模型(中考专题新初三必看)(20)

条件:等腰△ABC和等腰△ADE,∠BAC=∠DAE(顶角相等),点BDE三点共线时

结论5:A、B、C、E四点共线.

中考必考的几何模型(中考专题新初三必看)(21)

条件:等腰△ABC和等腰△ADE,∠BAC=∠DAE(顶角相等),点DBC上运动.

结论6:四边形ADCE是对角互补且邻边相等的共圆四边形,CA平分∠DCE.

模型2 等边三角形手拉手旋转

中考必考的几何模型(中考专题新初三必看)(22)

条件:OAB,△OCD为等边三角形

结论:OAC≅△OBD,

第三边的夹角∠AEB=60°,EO平分∠AED

四边形OABE对角互补,

四边形OCED对角互补、邻边相等、角平分线、60°的结论.

模型3 等腰直角三角形手拉手旋转

中考必考的几何模型(中考专题新初三必看)(23)

条件:OAB,△OCD为等 腰直角三角形

结论:OAC≅△OBD,

第三边的夹角∠AEB=90°,EO平分∠AED.

正多边形中的全等模型

模型1 等边三角形中的全等

中考必考的几何模型(中考专题新初三必看)(24)

中考必考的几何模型(中考专题新初三必看)(25)

条件:等边△ABCBD=CE.

结论:ABD≅△BCE;∠AFE=60°.

总结:等边三角形中的全等,第三边所成的夹角等于60°.


模型2 正方形中的全等

中考必考的几何模型(中考专题新初三必看)(26)

中考必考的几何模型(中考专题新初三必看)(27)

条件:正方形ABCDBE=CF.

结论:ABE≅△BCF;∠AGF=90°.

总结:正方形中的全等,第三边所成的夹角等于90°.


模型3 正五边形中的全等

中考必考的几何模型(中考专题新初三必看)(28)

中考必考的几何模型(中考专题新初三必看)(29)

条件:正五形ABCDE,BF=CG.

结论:△ABF≅△BCG;∠AHG=108°.

总结:正五边形中的全等,第三边所成的夹角等于108°.

一线三等角全等模型

模型1 同侧一线三等角

中考必考的几何模型(中考专题新初三必看)(30)

已知:B=∠C=∠AED,AE=DE.

结论:ABE≅△ECD.


模型1 同侧一线三等角

中考必考的几何模型(中考专题新初三必看)(31)

已知:∠AED=∠ABC=∠DCF,AE=DE.

结论:ΔABE≅ΔECD.

平行 中点全等模型

中考必考的几何模型(中考专题新初三必看)(32)

条件:ABCD,OBC的中点.

结论:AOB≅△DOC.

将军饮马

链接:初中几何最值问题基本模型:将军饮马

模型1:定直线与两定点(一动两定型)

(一)距离之和最短(化折为直)

1.两侧型:两点分别在直线两侧(基础本质型)

中考必考的几何模型(中考专题新初三必看)(33)

已知:如图①,定点A、B分别位于直线L的两侧.

要求:在直线L上找一点P,使得PA PB的值最小.

作图:连接AB与直线L交于点P,点P即为所求作的点,PA PB的最小值即为线段AB的长度.

证明:在直线L上任取一点动点P',连接AP'BP'.

在△ABP'中,

AP' BP'AB,即AP' BP'PA PB

∴当线段AB与直线L相交于点P时,PA PB最小.

结论:PA PB最小(AB)


2.同侧型:两点在直线同侧(将军饮马)

中考必考的几何模型(中考专题新初三必看)(34)

已知:如图①,定点A、B位于直线L的同一侧.

要求:在直线L上找一点P,使得PA PB的值最小.

作图:作点A、B任意一点关于直线L的对称点,

连接AB'交直线L于点P,则点P即为所求.

证明:根据轴对称的性质知直线L为线段BB'的中垂线,

由中垂线的性质得PB=PB',要使PA PB最小,则需PA PB'最小,从而转化为两侧型.

结论:PA PB最小(AB').


(二)距离之差的绝对值最大

1.同侧型:

中考必考的几何模型(中考专题新初三必看)(35)

已知:如图①,定点A、B位于直线L的同一侧(A、B两点到L的距离不等).

要求:在直线L上找一点P,使得|PA-PB|的值最大.

作图:连接AB并延长,与直线L交于点P,点P即为所求.

证明:L上任取一点P'(异于点P),连接P'AP'B.由三角形三边关系知|P'A-P'B|<AB,即|P'A-P'B|≤|PA-PB|.

结论:|PA-PB|最大(AB).


2.同侧型:

中考必考的几何模型(中考专题新初三必看)(36)

已知:如图①,定点A、B位于直线L的两侧(A、B两点到l的距离不等).

要求:在直线L上找一点P,使得|PA-PB|的值最大.

作图:作点A、B任意一点关于直线L的对称点,

连接AB'并延长,与直线L交于点P,点P即为所求.

证明:根据轴对称的性质知直线L为线段BB'的中垂线,

由中垂线的性质得PB=PB',要使|PA-PB|最大,则需|PA-PB'|最大,从而转化为同侧型.

结论:|PA-PB|最大为AB'.


(三)距离之差的绝对值最小(垂直平分线性质定理应用)

中考必考的几何模型(中考专题新初三必看)(37)

要求:如图①、②,在直线L上找一点P,使得|PA-PB|有最小值.

作图:连接AB,作线段AB的垂直平分线与直线L交于点P

P即为所求作的点.

证明:由中垂线的性质得PB=PB,要使|PA-PB|最小为0.

结论:|PA-PB|的最小值为0.

模型2:角与定点(两动一定型)


(一)距离之和最短

1.定点在角的外部

中考必考的几何模型(中考专题新初三必看)(38)

已知:如图①,P点为锐角∠MON外一定点.

要求:在射线OM上找一点A,在射线ON上找一点B,使得PA AB的值最小.

作图:如图②,过点PPBON于点B,PBOM相交于点A.此时,AP AB最小.

证明:AP ABPB,当且仅当A,P,B三点共线时,AP PQ取得最小值PB,根据点到直线的距离,垂线段最短,当PBON时,PB最短.

结论:PA AB的最小值为PB.


2.定点在角的内部

中考必考的几何模型(中考专题新初三必看)(39)

已知:如图①,P点为锐角∠MON内一定点.

要求:在射线OM上找一点A,在射线ON上找一点B,使得PA AB的值最小.

作图:如图②,作点P关于OM的对称点P',过点P'作ON的垂线分别交OMONA、B.点A、B即为所求作的点.

证明:由轴对称的性质得PA=P'A,要使PA AB最小,只需P'A AB最小,从而转化为定点在角外部模型.

结论:PA AB的最小值为P'B.


3.三角形周长最小

中考必考的几何模型(中考专题新初三必看)(40)

已知:如图①,P点为锐角∠MON内一定点.

要求:在射线OM上找一点A,在射线ON上找一点B,使得△PAB的周长最小.

作图:如图②,分别作P点关于直线OM的对称点P',关于ON的对称点P'',连接P'P''交OM于点A,交ON于点B,点A、点B即为所求,此时△PAB的周长最小,最小值为线段P'P''的长度.

证明:由轴对称的性质可知AP=AP',BP=BP'',△APB的周长AP AB BP=AP' AB BP'',当P'、A、B、P''四点共线时,其值最小.

结论:△PAB的周长最小为P'P''.


4.四边形周长最小

中考必考的几何模型(中考专题新初三必看)(41)

已知:如图①,P、Q为锐角∠MON内的两个定点.

要求:在射线OM上找一点A,在射线ON上找一点B,使得四边形ABPQ的周长最小.

作图:如图②,分别作Q点关于直线OM的对称点Q'P点关于ON的对称点P'',连接P'Q'OM于点A,交ON于点B,

A、点B即为所求,此时四边形ABPQ的周长最小,最小值为线段P'Q' PQ.

结论:四边形ABPQ的周长最小为P'Q' PQ.


5.两动两定变式模型

中考必考的几何模型(中考专题新初三必看)(42)

已知:如图①,A、B为两个定点,P、Q为动点.

要求:在射线OM上找一点Q,在射线ON上找一点P,使得AP PQ QB最短最小.

作图:如图②,分别作A点关于直线ON的对称点A'B点关于OM的对称点B',连接A'B'OM于点Q,交ON于点P,点P、点Q即为所求,此时AP PQ QB最小,最小值为线段A'B'.

结论:AP PQ QB最小为线段A'B'的长.

搭桥模型

模型1

中考必考的几何模型(中考专题新初三必看)(43)

已知:如图①,直线mn,A,B分别为m上方和n下方的定点(直线AB不与m垂直).

要求:m,n之间求作垂线段PQ,使得AP PQ QB的值最小.

解析:PQ为定值,只需要AP QB最小,可通过平移,使P,Q“接头”,转化为基本模型(将军饮马).

作图:如图②,将点A沿着平行于PQ的方向,向下平移至点A',使得AA'=PQ,连接A'B交直线n于点Q,过点QPQn于点Q,交直线m于点P,线段PQ即为所求,此时AP PQ QB最小.

证明:由作图过程可知四边形QPAA'为平行四边形,则QA'=PA,当B,Q,A'三点共线时,QA' QB最小,即PA QB最小,又PQ长为定值,所以此时AP PQ QB的值最小.


模型2

中考必考的几何模型(中考专题新初三必看)(44)

已知:如图①,定点A,B分布于直线m两侧,长度为a(定值)的线段PQm上移动(PQ左边).

要求:确定PQ的位置,使得AP PQ QB的值最小.

解析:PQ为定值,只需要AP QB最小,可通过平移,使P,Q“接头”,转化为基本模型(将军饮马).

作图:如图②,将点A沿着平行于m的方向,向右移至点A',使AA'=PQ=a,连接A'B交直线m于点Q,在m上截取PQ=a(PQ左边),则线段PQ即为所求,此时AP PQ QB的最小值为A'B PQ,即A'B a.

证明:由作图过程可知四边形APQA'为平行四边形,则QA'=PA,当B,Q,A'三点共线时,QA' QB最小,即PA QB最小,又PQ长为定值,所以此时AP PQ QB的值最小.


模型3

中考必考的几何模型(中考专题新初三必看)(45)

已知:如图①,定点A,B分布于直线m的同侧,长度为a(定值)的线段PQm上移动(PQ左边).

要求:确定PQ的位置,使得四边形APQB的周长最小.

解析:AB长度已经确定为定值,只需要AP PQ QB最小,可通过作A点关于m的对称点,转化为基本模型(将军饮马).

作图:如图②,作A点关于m的对称点A',将点A'沿着平行于m的方向,向右移至点A'',使A'A''=PQ=a,连接A''B交直线m于点Q,在m上截取PQ=a(PQ左边),则线段PQ即为所求,此时四边形APQB的周长最小为A''B AB PQ,即A''B AB a.

中点模型

模型1 倍长中线或类中线构造全等三角形

中考必考的几何模型(中考专题新初三必看)(46)

条件:AD是中线,延长AD至点E使DE=AD.

结论:ADC≅△EDB(SAS)


中考必考的几何模型(中考专题新初三必看)(47)

条件:DBC的中点,延长FD至点E使DE=AD.

结论:FDB≅△EDC(SAS)

模型2 三线合一模型

中考必考的几何模型(中考专题新初三必看)(48)

等腰三角形中有底边中点时,常作底边的中线,利用等腰三角形,,三线合一”的性质得到角相等或边相等,为解题创造更多的条件,当看见等腰三角形的时候,就应想到.“边等、角等、三线合一”.

模型3 中位线模型

中考必考的几何模型(中考专题新初三必看)(49)

在三角形中,如果有中点,可构造三角形的中位线,

利用三角形中位线的性质定理:DE//BC,且DE= BC来解题.中位线定理中既有线段之间的位置关系又有数量关系,该模型可以解决角相等,线段之间的倍半、相等及平行问题.

模型4 斜边中线模型

中考必考的几何模型(中考专题新初三必看)(50)

在直角三角形中,当遇见斜边中点时,经常会作斜边上的中线,利用直角三角形斜边上中线等于斜边的-半,即CD= AB,来证明线段间的数量关系,而且可以得到两个等腰三角形:△ACD和△BCD,该模型经常会与中位线定理一起综合应用.

半角模型

模型1 基本模型

中考必考的几何模型(中考专题新初三必看)(51)

中考必考的几何模型(中考专题新初三必看)(52)

条件:OA=OB,∠AOB=2∠COD.

结论:ODB≅△OD'A(旋转全等);△OCD≅△OCD'(对称全等).

模型2 四边形半角模型

中考必考的几何模型(中考专题新初三必看)(53)

中考必考的几何模型(中考专题新初三必看)(54)

条件:BD=180°,AB=AD,∠BAD=2∠EAF.

结论:如图①△ADF≅△ABG;如图②△ABE≅△ADH(旋转全等);

AEF≅△AEG≅△AHF(对称全等).

模型3 正方形半角模型

中考必考的几何模型(中考专题新初三必看)(55)

条件:在正方形ABCD中,∠EAF=45°.

结论:

(1)EF=BE DF;(旋转全等、对称全等)

(2)RtECF的周长=2AB

(3)△ABE的面积 △ADF的面积=△AEF的面积;

(4)AQ=AB


中考必考的几何模型(中考专题新初三必看)(56)

条件:在正方形ABCD中,∠EAF=45°.

结论:

(5)△AOM∼△ADF,△AON∼△ABE;(相似比1:根号2)

(6)△AMN的面积 四边形MNFE的面积=△AEF面积的一半;


中考必考的几何模型(中考专题新初三必看)(57)

条件:在正方形ABCD中,∠EAF=45°.

结论:(7)△ANE,△AMF为等腰直角三角形.


中考必考的几何模型(中考专题新初三必看)(58)

条件:在正方形ABCD中,∠EAF=45°.

结论:(8)A、D、F、E四点共圆,A、B、E、N四点共圆,M、N、F、C、E五点共圆.


中考必考的几何模型(中考专题新初三必看)(59)

条件:在正方形ABCD中,∠EAF=45°.

结论:(9)△ANM∼△DNF∼△BEM∼△AEF∼△DAM∼△BNA.

模型4 等腰直角三角形半角模型

中考必考的几何模型(中考专题新初三必看)(60)

条件:Rt△ABC中,AC=BC,∠ECF=45°.

结论:BCF≅△ACP(旋转全等),△PCE≅△FCE(对称全等),

.


中考必考的几何模型(中考专题新初三必看)(61)

条件:Rt△ABC中,AC=BC,∠ECF=45°.

结论:△ACE≅△BCQ(旋转全等),△ECF≅△QCF(对称全等),

.

相似模型

模型1 链接:A字型相似

链接:平行A字型相似

中考必考的几何模型(中考专题新初三必看)(62)

条件:DEBC

结论:AED∼△ABC.


非平行A字型相似

中考必考的几何模型(中考专题新初三必看)(63)

条件:AED=∠ACB

结论:AED∼△ACB

模型2 链接:8字型相似

平行8字型相似

中考必考的几何模型(中考专题新初三必看)(64)

条件:ADBC

结论:AOD∼△COB(上下相似),左右不一定相似,

(面积相等).


非平行8字型相似

中考必考的几何模型(中考专题新初三必看)(65)

条件:DAC=∠CBD

结论:A、B、C、 D四点共圆

AOD∼△BOC(上下相似)

AOB∼△DOC(左右相似)

模型3 ⇒共边共角型相似

中考必考的几何模型(中考专题新初三必看)(66)

共边共角型是“不平行A字型”(链接:手拉手旋转型相似)的特殊情况.当D点运动到B点时即为“共边共角型”.

中考必考的几何模型(中考专题新初三必看)(67)

条件:OAB=∠OBC.

结论:OBC∼△OAB.(OBOCOA的比例中项)

模型4 手拉手旋转型相似

中考必考的几何模型(中考专题新初三必看)(68)

条件:图①中只需CDAB.

结论:ΔOAC∼ΔOBD;∠AEB=∠AOB.

模型5 一线三等角

同侧型

中考必考的几何模型(中考专题新初三必看)(69)

条件:B=∠C=∠AED.

结论:ABE∼△ECD.


异侧型

中考必考的几何模型(中考专题新初三必看)(70)

条件:AED=∠ABF=∠DCF.

结论:ABE∼△ECD.


一线三等角 中点型

中考必考的几何模型(中考专题新初三必看)(71)

条件:B=∠C=∠AED,EBC的中点.

结论:ABE∼△ECD∼△AED;

AE平分∠BADDE平分∠ADC.

模型6 圆中的相似

圆中的8字型(相交弦定理)

中考必考的几何模型(中考专题新初三必看)(72)

结论:

AFB∼△CFD(左右相似);

BDF∼△ADC(上下相似);

AF·FD=BF·CF;

圆中8字型相似


切割线定理

中考必考的几何模型(中考专题新初三必看)(73)

条件:AB为切线,AC为割线.

结论:ABD∼△ACB(共边共角型相似),

(AB为比例中项).


双割线定理

中考必考的几何模型(中考专题新初三必看)(74)

条件:ACAF为割线.

结论: .


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