分数约分的问题解题技巧(古人是如何求解分数约分的问题)

3九章算术 卷第一 方田——约分术

原文

[5]今有十八分之十二。问约之得几何?

答曰:三分之二。

[6]又有九十一分之四十九。问约之得几何?

答曰:十三分之七。

约分术曰:可半者半之,不可半者,副置①分母子之数,以少减多,更相减损,求其等②也。以等数约之。

注释:

①副置:在旁边布置算筹;

②等:“等数”的简称,指最大公约数。由辗转相减至两边的差相等而得名

今译:

[5]已知分数十八分之十二,约分后是多少?

答:三分之二。

[6] 已知分数 九十一分之四十九,约分后是多少?

答:十三分之七。

约分的方法是:如果分母、分子都是偶数,分别减去自身的一半(即:分别除以2);如果分母、分子不全是偶数时,则在旁边用算筹将分母、分子的数字重新表示出来,然后用大数减去小数,所得的差与之前的小数比较,再用较大数减去较小数,如此辗转相减下去,一直到两边的差相等。这个相等的数就是最大公约数,最后用最大公约数去约简分母与分子。

例如:第[6]题的解题过程是:

分数约分的问题解题技巧(古人是如何求解分数约分的问题)(1)

91与49最大公约数的求法过程

(此过程称为:更相减损术,或称辗转相减法,或约分术

所以:91与49的最大公约数是:7

分数约分的问题解题技巧(古人是如何求解分数约分的问题)(2)

评议:

这一讲是《九章算术》的约分术,求解分数约分的问题。要约分,则须先找到分子、分母的最大公约数,而如何寻找最大公约数呢?古人创造性地发明了新方法——更相减损术(今称:辗转相减法)。读完此节,笔者感慨良多,祖先的智慧真是远超我们的想象。

1、“更相减损术”是中国古代求解最大公约数的一个伟大创举,此种方法简单、实用、有效、快捷!

小学时学过“短除法”求解两数的最大公约数,大学时学过“辗转相除法”求解两个多项式的最大公因式。学习《九章算术》(大约成书于公元1世纪)后才知道我国还有“辗转相减法”求解两数的最大公约数,虽然此种方法比“短除法”步骤多,但减法运算比除法运算简单,而且不用考虑余数的问题。在有限次作差后,可以得到最大公约数。这种方法的优越性立马显现出来,其简单、实用、有效、快捷的优点,促使学习者很快就能掌握。

此种方法与欧几里得《几何原本》(大约成书于公元前300年)卷7第1题的“辗转相减法”思路相同。受当时生产力低下,社会发展缓慢和地域的限制,东西两种古老文明地交流几乎为零,我们可以确信两种文明创造的求解最大公约数的方法系各自独创。

今天我们学习的“辗转相除法”其实是在“辗转相减法”的基础上发展而来。

2、感叹古人追求数学“简洁”的美。

刘徽在注释“约分”时提到“繁则难用”,并举了例子,四分之二,“繁而言之”为“八分之四”,“约而言之”为“二分之一”。三个数虽然表示的形式不同,但结果是一样的。

由此可以看出古人在“化繁为简”的过程中,追求的是数学“简单、简洁”的美,这和世界数学史发展中追求“简洁”的美是一致的。这种“美”不仅有实用的简单,形式的简洁,更有内在数学思想的简便。

分数约分的问题解题技巧(古人是如何求解分数约分的问题)(3)

3、感叹古人讲究“分类与化归”的数学思想方法。

约分术中提到了两种情况:分子分母均为偶数和不全为偶数的两种情况,并对不同的情况采取不同的方法。如果均为偶数则分别除以2,如果不全为偶数而采用转化的方法,运用“更相减损术”求出最大公约数,再约分。

整个过程,可以看出古人已经非常熟练地运用了“分类”与“化归”的数学思想方法,其中数学思路的清楚程度着实让我们惊叹!

4、原来“先易后难,从简到繁,循序渐进”的教学和学习方法古已有之,我们一直在继承与发展。

题[5]的分数约分,其数字在“九九表”中,可以通过九九乘法口诀很快地找到最大公约数,而题[6]的分数约分,其数字不在是“九九表”中,相对来说是较复杂的。这正好体现了我们的数学教学和学习的方法:先易后难,从简到繁,循序渐进。

我们经常教育孩子学习要先易后难,循序渐进。不成想,我们一直在谨遵祖训,继承发扬着这么好的朴实的教学和学习方法。

分数约分的问题解题技巧(古人是如何求解分数约分的问题)(4)

5、翻译“以少减多”的困惑与释然。

笔者在翻译“以少减多”遇到了困惑,查阅钱宝琮、郭书春、肖作政、邹涌等的译注或编译,均未对此短句进行深入解释,一笔带过。笔者通过上下文也能理解:是用大数减去小数。但按我们现在的语言习惯翻译“以少减多”就是“用少减去多”,这不是得负数了吗?不是产生了矛盾?

笔者思索一晚而不得结果(睡梦中还在想),将困惑说与老婆。老婆说“以少减多,就是以少的标准,从多中减去。多是被减数”,“相当于2除3,实际的意思是:3除以2”。一语被老婆点醒。

6、一点说明

至于“更相减损术”(辗转相减法)的数学证明,在此不详细叙述,有兴趣的读者可以进一步了解或自己证明。

参考文献

1、肖作政编译.《九章算术今解》.大连:辽宁人民出版社,1990

2、郭书春译注.《九章算术译注》.上海:上海古籍出版社,2009

4、钱宝琮点校.《算经十书》.北京:中华书局,2021

3、邹涌译解.《九章算术》.重庆:重庆出版社,2015

,

免责声明:本文仅代表文章作者的个人观点,与本站无关。其原创性、真实性以及文中陈述文字和内容未经本站证实,对本文以及其中全部或者部分内容文字的真实性、完整性和原创性本站不作任何保证或承诺,请读者仅作参考,并自行核实相关内容。文章投诉邮箱:anhduc.ph@yahoo.com

    分享
    投诉
    首页