怎么样理解置信区间（置信区间其实很容易懂）

举个例子，比如你想知道全国所有中学生的平均身高，你不可能去测量每一个学生的身高，因此采取了随机抽样的方式，用样本去预估去全国所有中学生的身高。

假设你随机抽取了100名学生，其平均身高为150cm，方差为25。

如果你用100个样本的平均值得出全国中学生的平均身高是150cm，这就是点估计，150cm就是点估计量（根据中心极限定理，样本的均值和总体的均值是相似的）。

如果你不想用样本的一个平均值去估计整体的平均值（比如150cm），而是用一个区间去估计（比如140-155cm），这就叫区间估计。区间估计相比点估计留有更大的容错空间。

区间的范围很大，你可以预测身高是149-151cm之间，也可以预测是140-160cm之间，也可以是其他。但你会看到，前者相比后者预测准确的概率更低，因为其预测的区间范围太窄；而后者预测准确的概率更高，因为其预测的区间范围更宽。

这就像投掷一次骰子，如果你预测是3-6，小明预测3-4，那么你猜对的概率是67%，而小明猜对的概率是33%，你比小明猜对的可能性更大。

所以，具体如何确定估计的范围（也就是置信区间）取决于你对预估结果准确概率的要求（也就是置信水平）。如果你希望结果准确的概率更高，那么区间的范围（置信区间）就设置的越宽；如果置信水平越低，置信区间就设置的越窄。

还是以上文中学生的身高为例，已知100个样本的平均身高为150cm，方差为25；请预估全国中学生整体的身高范围（置信区间）。

假设全国中学生的平均身高为μ，标准差为σ；则我们要求的是μ在某个置信水平的取值范围，总体X服从正态分布

假设100个样本的平均体重为x（x=150cm），根据中心极限定理，则样本均值也服从正态分布

由于样本平均值是呈正态分布的，我们便可以通过这条神奇的曲线推出以下结论：

（1）约有68%的样本平均值会在群体平均值一个标准误差的范围之内；（2）约有95%的样本平均值会在群体平均值的两个标准误差的范围之内；（3）约有99.7%的样本平均值会在群体平均值三个标准误差的范围之内。

标准差的计算公式如下图所示：其中SE代表标准误差，SD代表标准差，N代表样本量。

将方差=25，n=100带入到公式中，则100名样本的平均身高服从正态分布~N(μ, 0.25)。

然后，设置置信水平，常见的有68%，95%，99.7%，此处设置95%的置信水平，则

P(μ-2 * SE < x < μ 2 * SE)=0.95，SE为标准误差，根据上文公式计算为0.5，带入公式中为 P(μ-2 * 0.5< x < μ 2 * 0.5)=0.95 , 即P( μ-1< x < μ 1）=0.95 。

求出总体均值μ的范围 x-1 < μ < x 1，带入样本量的平均体重 x =150， 则总体的平均体重范围即95%的置信区间为149 <u < 151，也就是说全国中学生的平均体重有95%的概率在149到151cm之间。

,