微积分导数定义解题技巧(导数微积分的密码)

初学微积分,最关键的点是导数。

有的同学是通过运动学认识导数的,瞬时速度v就是位移s=f(t)的导数。

微积分导数定义解题技巧(导数微积分的密码)(1)

有的同学是从切线的斜率入手学习导数的,如下图。

微积分导数定义解题技巧(导数微积分的密码)(2)

对于曲线y=f(x)的割线MN,当MN绕N点转动使得点M无限接近N点或∠φ无限接近∠ɑ,割线MN的斜率的极限值k=tg∠ɑ(过N点的切线的斜率)即为函数y=f(x)的导数。

微积分导数定义解题技巧(导数微积分的密码)(3)

由此,导数有这样的定义:

当自变量的增量趋于零时,因变量的增量与自变量的增量之商的极限。一个函数存在导数时,称这个函数可导或者可微分。记作y'或f'(x)。

微积分导数定义解题技巧(导数微积分的密码)(4)

从上面的式子可以看出来,导数是个极限值。可能是极限求值的过程天然地具有动态属性,使得许多同学本能的将导数与“运动的”和“变化的”联系起来。这当然是正确的,书上也是这样讲的嘛。

但是,导数也有静态的一面,它可以帮助我们更好地理解微分与积分的互逆关系。

我们以一个简单的函数y=x²为例,求它的导数:

微积分导数定义解题技巧(导数微积分的密码)(5)

我们用0来替代无穷小△x,并假定0可以被除(0当然是不能被除的,仅是假定)。那么,不用极限运算,也可以得出它的导数:

微积分导数定义解题技巧(导数微积分的密码)(6)

看,结果是一样的。

对于导数计算中的无穷小△x,我们可以有另一种理解,它是可以被除的0。从空间角度来讲,求函数的导数这件事,就发生在一个点那么小的空间里,尺度大小接近于0,连局部线性化都算不上(微分f'(x)△x才是局部线性化的结果,而且这个△x并不接近于0)。

我们完全可以把一个函数的导数,看作是构成函数曲线的各点的状态,而且是静态的。这种状态在平面坐标系是看不见的,我们需要给它增加一个维度。

将函数F(x)=x²放到三维坐标系中,在X0Y平面上绘制函数曲线F(x)=x²。然后,在曲线y=x²上向Z轴方向绘制直线,长度等于它的导数f(x)=2x的值。将这些直线投影到X0Z平面上,会得到一个三角形,如下图:

微积分导数定义解题技巧(导数微积分的密码)(7)

为了方便观察,我们再给一个Z轴朝上的:

微积分导数定义解题技巧(导数微积分的密码)(8)

这个三角形恰好是由导函数f=2x和X轴在区间x∈[0,3]上围合出来。

可见,导函数f(x)和原函数F(x)是一一对应的关系。

这样来看,微积分也很简单的嘛。将微积分原理解构为三个部分:导函数f(x)负责描述过程,打通导函数f(x)与函数F(x)的对应关系,原函数F(x)负责运算。

学好高数第一步:让我们愉快地求导吧!

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