数学从0到9相加不可重复（如何用1到9这九个数分别表示2到10的倒数）

请欣赏一道关于单位分数的训练思维的数学趣题。分子为1的真分数，叫做“单位分数”，也叫“埃及分数”，因为古代埃及人对这种分数很有研究，他们研究的主要是怎样把正整数用单位分数表示出来。例如，对于正整数1，可以把它表示为1/2 1/3 1/6。现在我们研究怎样把单位分数用1~9这九个数字表示出来，为此，把这九个数字按顺序排列如下1 2 3 4 5 6 7 8 9 在它们中间添上 、-、x、÷这些运算符号，就形成了一个运算式，自然也就有一个运算结果，例如：1÷2 3 4-5 6-7 8-9=1/2瞧，我们就这样把最大的单位分数表示了出来。你能不能把1/3、1/4、1/5、1/6、1/7、1/8、1/9、1/10 也如此表示出来(可添加括号，但九个数字的顺序不能动)?解答：

对这样的题目，如果要“手工”操作，也就是说，不借助电脑，那只有反复尝试，不断调整，才能找到解答。这种方法叫做“试错法”( trial and error)，它似乎不是一种数学方法，因为数学上似乎总是强调推理的严格性和逻辑性，不会像这样东试一下西凑一下的。其实，在数学研究的前沿，根本没有像“求根公式”那样能按部就班地解决问题的成法。在绝大多数情况下，数学家都是在不断地探索，不断地修正，不断地寻找新的思路。因此，“试错法”或许不是一种严格意义下的数学方法，但它绝对是一种思维方式，而且是一种科学的思维方式。

当然，就这道题目而言，因为涉及的数字只有九个(而且顺序不能变)，涉及的运算符号也只有 、-、×、÷和括号，因此可以编一个程序，让电脑这个“速算傻瓜”去尝试所有可能的情况。但如果涉及的数字和符号再增加下去，那么可能情况的数目将很快变得像天文数字那般庞大，这时纵然用上电脑，恐怕在你有生之年也不会有希望找到答案了。因此，在这种情况下，采用“试错法”，并在实施这一方法的过程中充分发挥我们人类的智慧，是惟一可行而有效的措施了。下面，我们演示一下怎样通过“试错法”把1/3用那九个数字表示出来。由于运算结果是1/3，因此运算过程中除法是免不了的，而且除数必须以3作为因数。既然这样，可以考虑在3,6或9的前面放上一个除号。如果在3或6的前面放除号，那么这个除法做好后，至少还有一些涉及后面几个数字的运算要做，这就要做分数(刚才除得的结果当然希望是一个分数而不是整数)与整数之间的运算，而结果要求是一个单位分数，情况就有点复杂。最好是这个除法放在最后做，一下子除出所期望的单位分数。根据这个思路(当然也可以有其他的思路)，我们在9前面放一个除号。

好了，现在问题归结为：设法给1,2,3,4,5,6,7,8这八个数字添上运算符号(必要时可添上括号)，使得运算结果为3。如果这一点解决了，那再除以9，就得到了所期望的1/3 。

因为是用整数的运算式表示整数，所以纵然计算过程中有除法，一般也应该考虑可以整除的情况。这样，难度就降低了。经过几番尝试，我们终于得到(1 2)÷3 4 5-6 7-8=3 于是，我们有 ［(1 2)÷3 4 5-6 7-8］÷9 =1/3

还有其它答案吗？当然还有。请看下面：

［(1×2×3-4)×5-6 7-8］÷9 =1/3下面我们对单位分数1/4到1/10各给出一个解答。或许你还有其他不同的解答，但是我们的解答有一个特点：在运算过程中都不出现负数。希望你的解答也有这样的特点。

[1×2 3 4 5×(6 7)]÷8-9=1/4

1-2×(3 4 5)÷(6 7 8 9)=1/5

(1 2 3 4-5)÷(6 7 8 9)=1/6

1÷[2÷(3 4-5) 6 7×8]×9=1/7

[(1 2)÷3 4×(5 6 7)]÷8-9=1/8

[(1 2)÷3 4 5 6-7-8]÷9=1/9

[(1 2)÷3 4]÷5÷[6×(7 8)]×9=1/10当然，你还可以问：对于上述每个单位分数，各有多少个不同的解答?这个问题就难得多了。据我们所知，除了编一个程序用电脑进行搜索外，恐怕没有其他有效的方法。

相关链接：用莱布尼茨三角形解决单位分数问题