判断级数收敛或发散例题(判断数项级数收敛的一般方法)

在上一期我们讲了什么是数项级数,什么是数项级数收敛以及数项级数收敛的柯西收敛准则。

除了柯西准则之外还有四个常用的判断数项级收敛的方法,接下来我们就一个个地讲解一下。

第一个方法是比较原则。

和是两个正项级数(正项级数就是级数中的每项都是正数,即 >0, >0,n=1,2,…)。

在上一期我们说过,一个级数如果收敛,那么它的部分和数列{sₙ}的极限存在或者

{sₙ}有界。

即,当n趋近于无穷大的时候,

sₙ=u₁ u₂ … uₙ=s(s是一个确定的数)

此时,我们就说∑

如果存在一个N,当n>N时,有,那么我们令和 的部分和分别为

;,

由于当n>N时,

所以<

我们令;

我们要知道级数就是研究无穷多个数相加是否有结果,我们已知“存在一个N,当n>N时,有

”,这个N不管有多大,只要它存在就会是一个明确的数,在级数当中,在第N项之后,还会有无穷多项。

从而,不管 和 谁大谁小,在第N项的后面会有无穷多个,

进而,。即, <。

如果 收敛,那么

由于 <,所以=a

所以, 有界。

因此, 收敛。

如果发散 ,那么。

由于 <,所以

所以, 有界。

因此, 收敛。

所以,我们可以得到这样一个结论:

设 和 是两个正项级数,如果存在某个正整数N,对一切n>N都有

,则

(1)若级数 收敛,则级数 也收敛;

(2)若级数 发散,则级数 也发散。

判断级数收敛或发散例题(判断数项级数收敛的一般方法)(1)

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