立体几何的四个基本定理（无边的奇迹源于简单规则的无限重复）

伽利略说：大自然的语言是数学，它的标志是三角形、圆和其他图形。但是对于了解大自然的复杂性来讲，几何学是一种不充分、不具有普遍性的抽象。

1883年，康托尔为数学引入了一个分形：康托尔集，取一条长度为1的直线段，将它三等分，去掉中间一段，留剩下两段，再将剩下的两段分别三等分，各去掉中间一段，剩下更短的四段再分别三等分……如此重复这样的操作一直继续下去，直至无穷。

1895年，魏尔斯特拉斯提出了第一个分形函数“魏尔斯特拉斯函数”, 并凭借函数曲线特点“处处连续，处处可以无限细分下去，”证明了所谓的“病态”函数的存在性。

1906年，科赫在论文《关于一条连续而无切线，可由初等几何构作的曲线》中提到了一种像雪花的几何曲线，它的每条曲线都可以相似的形状无限大的细分下去，而这个雪花曲线就是特例科赫曲线。

1914年，波兰数学家谢尔宾斯基利用等边三角形，沿三边中点的连线，将它分成四个小三角形，去掉中间的那一个小三角形。再对其余三个小三角形重复之前的操作，发现了可以无限细分下去的谢尔宾斯基三角形。两年后，他用类似的方法将正方形进行分形，发现了正方形的分形——谢尔宾斯基地毯。

芒德勃罗1924年11月20日生于波兰华沙，祖籍是立陶宛犹太人。芒氏的思维方式很特别，喜欢几何是一个特征。

他特别重视当时那些非主流的思想，尤其是那些被称作“病态的”及“直觉的”东西，比如：康托三分集、维尔斯特拉斯不可微曲线、可充满正方形区域的皮亚诺曲线、谢尔宾斯基地毯与海绵、柯赫雪花曲线和粒子布朗运动等等。

长期的观察分析、收集与总结，使芒德勃罗获得这样一个印象，除了光滑的欧氏几何以外，应该还有一种不光滑的几何，这种几何更适合于描述大自然的本来面目。

1967年，法国数学家芒德勃罗（1924-）在美国《科学》杂志上提出一个问题："英国的海岸线有多长？”他自己的回答却使人们大吃一惊，海岸线的长度可以认为是不能确定的！这取决于测量所用的测度。比如从飞机上往下测，数值为a；若人沿着海岸步行测，海岸线长b等于步长乘步数。

由于步行时经过的弯曲比飞机上观察的要细致得多，从而b大于a；如果是一只小由沿海岸线爬行测量，经过的弯曲又比人步行时更多，测得数值c必定又大于b。这就是说，对海岸线观察得越贴近，越仔细，发现的弯曲细节就越多。

但是，当你把从空中拍摄的100千米长的海岸线与放大了的10千米长的海岸线的两张照片相比较，竟会发现它们看上去十分相似，这就是自相似性。具有自相似的图形在客观世界中大量存在。芒德勃罗给具有这种性质的复杂图形命名为Fractal，译成中文叫“分形”.

1964年芒德勃罗参加了在耶路撒冷举行的逻辑学与科学哲学大会，在会上作了“尝试性的分形宣言”的报告，可是没有正式发表出来。他还在深思，当今学科分化与设立都很严密，如果要有新的成就，就必须要创立个新学科。

在 芒德勃罗 1975年出版的《大自然的分形几何学》一书中，有这么几句话：“云不只是球体，山不只是圆锥，海岸线不是圆形，树皮不是那么光滑，闪电传播的路径更不是直线。它们是什么呢？它们都是简单而又复杂的‘分形’……”分形的提出是为了更好地去描述、解释真实的大自然。也正因为此，芒德勃罗 被称为“分形之父”。

芒德勃罗打破正统思维形式，利用自相似的观点对不规则又极其复杂的事物进行了“分形”。这种分形的科学称为分形几何或分形理论，换句话说，分形几何学研究的对象都有一个共性，就是自相似性，即局部形态与整体形态的相似。

分形几何是芒德勃罗在1983年首先创立的，是一门边缘学科，有着极其广泛的应用。

分形几何学的基本思想是：客观事物具有自相似的层次结构，局部与整体在形态、功能、信息、时间、空间等方面具有统计意义上的相似性，成为自相似性。例如，一块磁铁中的每一部分都像整体一样具有南北两极，不断分割下去，每一部分都具有和整体磁铁相同的磁场。这种自相似的层次结构，适当地放大或缩小几何尺寸，整个结构不变。

芒德勃罗细心地分析了布朗运动，终于发现了隐藏在不规则运动中的分形问题。芒德勃罗认为布朗运动的基本形式是随机行走，所使用的基本数学知识是高斯的正态分布，所谓正态分布是呈钟形（古代铸的钟）曲线形状的一种分布。

法国数学家莱维在研究这个问题时提出：布朗运动过程的整体与部分有时有相似性。虽然通常的想法是高斯过程，即正态分布，但是莱维证明了随机行走（或飞行）还具有自相似性。莱维的这一思想对芒德勃罗影响极大。

从1977年芒氏的“分形”一书中，可以看出，他已经自如地将“莱维飞行”运用于各种场合。遗憾的是，科学界直到20世纪90年代才认识到这部分工作的重要性。

我国著名数学家华罗庚说过：“就数学本身而言，是壮丽多彩、千姿百态、引人入胜的……认为数学枯燥乏味的人，只是看到了数学的严谨性，而没有体会出数学的内在美。”

中国著名学者周海中教授认为：分形几何不仅展示了数学之美，也揭示了世界的本质，还改变了人们理解自然奥秘的方式；可以说分形几何是真正描述大自然的几何学，对它的研究也极大地拓展了人类的认知疆域。

佛典中有一句话：一花一世界，一叶一菩提

那现在我们看到这个世界本身就是自相似的。说明我们生活在宇宙中本身也被这样的简单规则引领着，无穷无尽。