函数单调区间的求法及应注意问题：函数单调性与单调区间例题解析

本文主要内容：通过实际例子介绍函数单调性判断和单调区间的求解。

例题1：

讨论y=e^x-x-3的单调性。

解：y=e^x-x-3,则y´=e^x-1.

令y´=0，则x=0.判断导数的符号为：

(1)当x≥0时，y´≥0，此时函数为增函数，

函数的增区间为[0, ∞）；

(2)当x＜0时，y´＜0，此时函数为减函数。

函数的减区间为(-∞，0)。

例题2：

讨论函数f(x)=3x^3-5x^2 1的单调性。

解：y=3x^3-5x^2 1,

y´=9x^2-10x=x(9x-10).

令y´=0，即x1=0,x2=10/9，则：

(1)当x∈(-∞，0]，[10/9, ∞）时，y´≥0，

此时函数为增函数，该区间为函数的增区间；

(2)当x∈(0，10/9)时，y´＜0，

此时函数为减函数，该区间为函数的减区间。

例题3：

判断y=(4/3)x^3 (3/2)x^2的单调性。

解：y=(4/3)x^3 (3/2)x^2,

y´=4x^2 3x=x(4x 3).

令y´=0，即x1=-3/4,x2=0，则：

(1)当x∈(-∞，-3/4]，[0, ∞）时，y´≥0，

此时函数为增函数，该区间为函数的增区间；

(2)当x∈(-3/4，0)时，y´＜0，

此时函数为减函数，该区间为函数的减区间。

例题4：

求函数f(x)=(x 3)(x 6)^(2/3)的单调区间。

解：y=(x 3)(x 6)^(2/3).

y´=(x 6)^(2/3) (2/3)(x 3)(x 6)^(-1/3)

=(1/3)(x 6)^(-1/3)*(5x 24).

令y´=0，即x1=-24/5，又x2=-6处导数不存在，则：

(1)当x∈(-∞，-6]，(-24/5, ∞）时，y´≥0，

此时函数为增函数，该区间为函数的增区间；

(2)当x∈(-6，-24/5)时，y´＜0，此时函数为减函数。

例题5：

求f(x)=x^2(x-4)^2的单调区间。

解：y=x^2(x-4)^2,

y´=2x(x-4)^2 2x^2(x-4)=2x(x-4)(2x-4).

令y´=0，即x1=0，x2=2，x3=4则：

(1)当x∈(0，2],(4, ∞）时，y´＞0，

此时函数为增函数，该区间为函数的增区间；

(2)当x∈(-∞，0]，[2,4]时，y´≤0，

此时函数为减函数，该区间为函数的减区间。

例题6：

讨论y=(x-1)3√x^2的单调性。

解：y=(x-1)x^(2/3).

y´=x^(2/3) (2/3)(x-1)x^(-1/3)

=(1/3)x^(-1/3)*(5x-2).

令y´=0，即x1=2/5，又x2=0处导数不存在，则：

(1)当x∈(-∞，0)，[2/5, ∞）时，y´≥0，

此时函数为增函数，该区间为函数的增区间；

(2)当x∈(0，2/5)时，y´＜0，此时函数为减函数。

​方法归纳：

通过上述例子，可见此类型讨论函数的单调性或求函数的单调区间，主要步骤为：

1.求函数的一阶导数。

2.由一阶导数为0，求解函数的驻点，同时注意导数不存在的点。

3.以函数的驻点、导数不存在的点，并结合函数的定义域，判断函数导数与0的关系，即可得到函数的单调性和单调区间。

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