高中数学基础与解法合集（高中数学的20个解题方法）

高中数学的20个解题方法

文/刘蒋巍

01 化归

所谓“化归”，是指把要解决的问题，通过某种转化过程，归结到一类已经解决或者能比较容易解决的问题中去，最终获得原问题解答的一种解题策略，化归从某种意义上来说就是“化简”。

匈牙利著名数学家罗莎·彼得（RoszaPeter）在他的名著《无穷的玩艺》中，通过一个十分生动而有趣的笑话，来说明数学家是如何用化归的思想方法来解题的.有人提出了这样一个问题：“假设在你面前有煤气灶、水龙头、水壶和火柴，你想烧开水，应当怎样去做？”对此，某人回答说：“在壶中灌上水，点燃煤气，再把壶放到煤气灶上.”提问者肯定了这一回答，但是，他又追问道：“如果其他的条件都没有变化，只是水壶中已经有了足够多的水，那么你又应该怎样去做？”这时被提问者一定会大声而有把握地回答说：“点燃煤气，再把水壶放上去.”但是更完善的回答应该是这样：“只有物理学家才会按照刚才所说的办法去做，而数学家们却会回答：只须把水壶中的水倒掉，问题就化归为前面所说的问题了.””“把水倒掉”，这就是化归，这就是数学家们常用的方法。

我们常常采用：（1）把复杂问题化归为简单问题；（2）把陌生问题化归为熟悉问题；（3）把一般情况化归为特殊情况；（4）把一个命题化归为一个更强的命题.

02 反证法

反证法是一种重要的数学证题方法.反证法的基本思想是：先提出一个与命题的结论相反的假设，然后利用一些公理、定理、定义等作出一系列正确、严密的逻辑推理，由此引出一个新的结论，而这个新的结论或者与所给的已知条件矛盾，或者与已知为真的结论矛盾，从而肯定原结论是正确的.

因此，用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：（1）反设；（2）归谬；（3）结论。反设是反证法的基础，归谬是反证法的关键．导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨.导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾等。解题中，我们无须对这些矛盾进行细分，而应将重点放在怎样导出矛盾。

下面是一些常用反证法证明的情形：

（1）结论为否定的一些命题，如结论中含有“不是······”、“不存在··．．．·”、“不等于······”、“不能······”等文字；

（2）关于个数的命题，如结论中含有“至多”、“至少”、“有限”、“无穷”、“唯一”等文字；

（3）由题设条件所能推得的结论甚少，或解题方向暂不明朗的一些命题．

03 数学归纳法

与正整数n有关的命题常常用到数学归纳法.

（1）数学归纳法的基本形式（第一数学归纳法）是：

设P（n）是一个含正整数n的命题，如果

（I）P（1）成立；

（II）在P（k）成立的假设下，可证明P（k＋1）成立，

那么P（n）对任意正整数n成立.

通常我们将步骤（I）称为归纳奠基，将步骤（II）称为归纳过渡.两者不可缺其一.

显然，第一数学归纳法可以推广为：

设p（n）是一个含有正整数n的命题，如果

（I）p（n），当n＝no时成立；

（II）在p（k）（k≥no）成立的假定下，可以证明p（k＋1）成立，那么p（n）对一切大于或等于no的正整数n都成立.

（2）第二数学归纳法：设p（n）是一个含正整数n的命题，如果

（I）P（1）成立；

（II）在p（m）对于所有适合m≤k的正整数m成立的假定下，可以证明p（k＋1）成立，

那么p（n）对任意正整数n都成立.

第二数学归纳法也有类似的推广，即使命题p（n）成立的起点可用某个正整数no代替.

（3）反向数学归纳法，又称倒推数学归纳法，是法国著名数学家柯西首先使用的.柯西利用反向数学归纳法证明了：n个正数的算术平均大于或等于这n个正数的几何平均.

下面给出反向数学归纳法：

（I）p（n）对无限多个正整数n成立；

（II）假设p（k＋1）成立，可推出p（k）也成立，那么p（n）对一切正整数n都成立.

反向数学归纳法也可以推广为：

设p（n）是一个含有正整数n的命题，如果

（I）p（n）对某个正整数mo（mo≥1）成立；

（II）假设p（k＋1）成立，可推出p（k）也成立，

那么p（n）对一切不大于mo的正整数n都成立.

（4）双参数归纳法．在证明与两个独立的正整数有关的命题p（n，m）时，可以用如下形式进行：

（I）证明p（1，m）对任意正整数m成立，p（n，1）对任意正整数n成立；

（II）假设p（n＋1，m）和p（n，m＋1）成立，由此推出p（n＋1，m＋1）成立，则对所有的正整数n，m，p（n，m）成立.

数学归纳法的应用十分广泛，而在很多情况下，数学归纳法是以一些常见的“变体”实施的，另外也涉及一些技巧，如主动加强命题、灵活选取起点、灵活选取跨度等等.

04 抽屉原理

抽屉原理又称鸽巢原理，它是组合数学中的一个基本原理，最先是由德国数学家狄里克利明确地提出来的，因此，也称为狄里克利原理.

把10个苹果放到9个抽屉里，一定有一个抽屉里至少有2个苹果；把10个苹果放到3个抽屉里，一定有一个抽屉里至少有4个苹果；把9个苹果放到3个抽屉里，一定有一个抽屉里至少有3个苹果，这些看似简单的道理，却是我们解决存在性问题的一个非常有用的方法.抽屉原理的常用形式为：

抽屉原理1：如果把n＋1件东西任意放入n个抽屉，那么必定有一个抽屉里至少有两件东西。

抽屉原理2：如果把m件东西任意放入n个抽屉，那么必定有一个抽屉里至少有［(m-1)/m］ 1件东西，也必定有一个抽屉里至多有［m/n］件东西，其中［x］表示不超过x的最大整数.

抽屉原理3：如果把无穷多件东西放入n个抽屉，那么必定至少有一个抽屉里有无穷多件东西.

其实，抽屉原理1是抽屉原理2的特殊情况．用抽屉原理解题，关键是设计“抽屉”，抽屉设计得好，题目就容易解决，设计得不好，反而使问题复杂化，甚至无法解决.究竟如何设计，没有统一的套路，需对具体问题作具体分析.

运用抽屉原理解题时，有时用等价的“平均数原理”，在几何上则用“重叠原理”.

当处理存在性问题时，我们常常会用到抽屉原理．

05 容斥原理

我们知道加法原理是一个重要的计数原理，然而应用加法原理时，须将集合分划成若干个两两不交的子集，以便达到分别计数的目的.但有时候要做出便于计数的分划并不容易.这就需要把加法原理加以推广.

我们允许一些元素被重复计数，然后将重复计数的予以排除，再将多被排除的补上，如此反复地排除与补充，最终得出精确的结果.这个计数的过程体现于容斥原理.

06 极端原理

极端原理就是一种从特殊对象看问题的方法，它以对象数量上的极端情况，比如最大值、最小值、最长、最短等，为出发点，寻找解题的突破口和答案。极端原理作为一种解题的思想，在几何、数论、组合、图论等方面都有着广泛的应用.利用这个简单而又通俗的原理可以解决不少与存在性有关的数学问题和其他问题.在具体解题中，需要我们作具体分析。

在应用极端原理时，我们应积极利用如下事实（1）、（2），并注意事实（3）：

（1）有限个数中一定有最大数和最小数；

（2）无限个正整数中有最小数；

（3）无限个实数不一定有最大数或最小数．

07 奇偶性

整数集可按照其元素能否被2整除划分为奇数集与偶数集．关于奇偶性有如下基本性质：

性质1：奇数不等于偶数．

性质2：两个整数的和与差具有相同的奇偶性．

性质3：m±n为偶数的充要条件是m，n具有相同的奇偶性；m±n为奇数的充要条件是m，n具有不同的奇偶性.

性质4：奇数个奇数的和是奇数，偶数个奇数的和是偶数．

性质5：一个整数为奇数的充要条件是它的约数都是奇数．

性质6：任意一个正整数都可以表示为n＝(2^p)·q的形式，这里p属于N，q为奇数.

作为整数的属性而言，奇偶性是极基本的，但具体解题时，奇偶分析涉及的面很广，并且包含了许多重要的想法和处理问题的技巧.

08 面积法

面积是平面几何中的一个重要概念.在处理一些几何问题时，以考虑面积作为计算或论证出发点的方法，称为面积方法.

面积公式不仅可用于计算面积或证明面积关系，还可用来证明与面积不明显相关的几何命题（平面几何中几乎所有的计算与证明都能用面积来解），有时候会收到事半功倍的效果.

三角形的面积公式是最基本的面积公式，且具有多种形态.借助这些公式，我们非但可以推导出其他图形的许多面积公式，也可以得到一些与面积有关的性质定理，例如等积变形定理、共角定理、共边定理等，由此使线段比和面积比相互转化.

09 从整体考虑问题

研究某些数学问题时，我们需从问题的整体考虑，通过研究整体结构、整体形式来把握问题的本质.

运用整体化思想解题的策略主要体现在以下两点：

第一，若某些问题的条件或结论具有整体性特征，则应加以利用使本质显现或问题简化；

第二，若问题的条件或结论是局部性的，但从局部难以入手，就不妨改从整体出发，把貌似散乱实则紧密联系的对象捏合起来，或者构造适当的整体结构，通过对问题的整体认识来解决问题.

10 选择合适的记号

在处理某些问题时，一开始就选择有效的记号，往往是解题的关键.

例如，整数具有各种表示方法，包括标准素因数分解，按模分类，各种进位制等等.在解题时，我们可以根据问题的特征选用合适的表示数的方法，从而使思路变得明朗，或者使问题得以继续往下研究.

11 数形结合

数形结合思想是一个非常重要的思想，也是一个重要的解题策略.

“数”与“形”反映了事物两个方面的属性.数形结合，就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题，具体来说就是在解题时，把图形性质问题借助于数量关系的推演而具体量化，把数量关系问题借助于几何背景而直观形象化，它兼有数的严谨与形的直观之长.通过“以形助数”或“以数解形”，可使复杂问题简单化，抽象问题具体化，有助于把握数学问题的本质，使问题迎刃而解.

12 对应与配对

“对应”是一个基本而又重要的数学概念.我们也常利用对应来解题.这种方法的大致想法是这样的：对某个系统中的一个问题，找到一种对应法则，通过该法则的作用把这个问题转化成另一个系统中的相应问题，而该问题在新的系统中是可以解决的，并存在逆对应，再把新系统的解答逆反回去，从而求得原来那个问题的解答.徐利治教授称这种方法为“关系映射反演原则”，简称RMI原则.“配对”是指将一些对象（例如数、元素、子集）按照某种适当的对应关系两两相配考虑问题，从而简化计算或使命题得以证明.

13 递推方法

通过建立递归关系解决问题的方法称之为递推方法.递推方法是探索数学规律和解题思路的重要方法之一，它对几乎所有的数学分支都有着重要作用.随着计算机的广泛应用，这种方法越来越受到重视.递推关系是从很多计数问题中产生的，它也是递推方法的数学描述.利用递推关系计数的一般步骤是：

（1）用an表示与n有关的欲计数的对象的个数；

（2）计算一些初始值a1，a2，a3，···等；

（3）建立an与an-1，an-2，··，an-k之间的递推关系；

（4）求解递推关系．

14 染色法

有一些数学问题，例如操作问题、逻辑推理问题等，不便用通常的数学方法来解；还有一些实际问题，研究的是事物的某种状态或性质，其本身与数量无关，也不便用通常的数学方法来解.这些非常规数学问题可能需要用特定的方法来解决，例如染色法，以及赋值法等.

染色法是对问题所研究的对象进行分类的一种形象化的方法.借助于染色手段，能使比较抽象的组合问题转化为一个具体的染色问题，有利于我们观察、分析对象之间的关系，再通过对染色图形的处理达到对原问题的解决.常见的染色方式有：点染色、边染色、小方格染色和区域染色等.

15 赋值法

赋值法，是对本身与数量无关的问题巧妙地赋于某些适当的数值，将其数学化，然后利用整除性、奇偶性或正负号等的讨论，使问题得以解决的方法。

许多组合问题和非传统的数论问题常用赋值法求解.注意到染色法中是用颜色对事物分类，赋值法则能以“数”替代“色”，因此一般而言，能用染色法表述和解决的问题都可以用赋值法来处理（不过染色法在表述的形象性等方面有其优势）.赋值法使问题数值化，进一步可使数值参与运算和推证，因而又有其独到的施展空间.

常见的赋值方式有：对点赋值、对线段赋值、对区域赋值以及对其他对象赋值等.

16 算两次

“算两次”，也称做富比尼（G.Fubini）原理，是一种非常重要的数学方法.所谓算两次，就是在解题过程中，以两个方面来考虑（计算、估计）同一个量，从而使问题得以解决，这种方法的精神实质与“换个角度看问题”是一致的.其实，“算两次”方法我们并不陌生，譬如列方程解应用题，就是把一个量用两种不同的方法表示出来.在奇偶性、面积法、染色法中，“算两次”的思想已有所涉及。

17 逐步调整法

所谓逐步调整法，就是暂固定问题中的一些可变因素，使之不动，研究另一些可变量对求解问题的影响，取得局部成果后，再设法求得整个问题的结果.

逐步调整法的精神可以体现在以下几个方面：

（1）通过调整，使原状态达到某种意义下更优的状态，从而逐步达到最优状态（注意必须以最优状态存在为前提）；

（2）通过调整，将大量一般的情形归结为讨论少数几类特殊的、规则的情形，使问题便于解决；

（3）在按某种条件或要求进行操作时，掌握操作过程中的某种内在规律（如不变性、奇偶性、同余性、连续性、单调性等）进行逐步调整，使之得出某种结论或证实某个命题；

（4）为寻找某种对象，在满足部分限制条件的前提下，通过调整使其余限制条件也得以满足.

18 构造法

解题过程中，由于某种需要，要么把题设条件中的关系构造出来，要么备这些关系设想在某个模型上得到实现，要么把题设条件经过适当地逻辑组合而构造出一种新的形式，从而使数学问题获得解决，在这个过程中，思维的创造活动的特点是“构造”，我们不妨称之为构造性思维，运用构造性思维解题的方法，称为构造法.

构造法解题需要我们有比较全面的知识以及敏锐的直觉，能多角度多渠道地进行联想，将代数、三角、几何、数论等知识相互渗透有机结合.

19 不变量与恒增（减）量

我们经常会遇到这样一些量，它们经过运动、操作、变换后保持不变，这样的量称为不变量，俗话说“万变不离其宗”，变化的是现象，不变的是本质。不变量方法就是通过寻找某种不变的本质来解决问题。

在具体解题过程中，不变量可以在和、差、积、商、平方和、倒数和等运算结构中寻找，也可以考虑正负、奇偶性、同余等一些方面.此外，很多染色与赋值的问题实际上也是通过对某些事物分类或赋予一些数值，从中发现某种不变规律。

20 图论方法

图论是以图为研究对象，研究顶点和边组成的图形的数学理论和方法，起源于著名的哥尼斯堡七桥问题，图论中的图是指由若干个不同的顶点及连接其中某些顶点的边所构成的图形，通常用G表示，或者更确切地记作G（V，E），其中V是所有顶点的集合，E是所有边的集合.图G中，顶点的位置以及边的曲直长短都是无关紧要的，我们所关心的是图G中顶点和边的组成状况.

图论有一套庞大的概念系统。

作者简介

刘蒋巍，代表作品《2018年自主招生模拟试题及解答》、《高中联赛经典题讲解(江苏预赛) 》、《抽屉原理——江苏高中数学复赛系列课程》、《数学压轴题的特征、破解之道及训练方法》、《命题人讲座：高考题是怎么出的(导数)》、《命题人讲座：高考题是怎么出的(圆锥曲线) 》、《高考题数学是怎么出的——以三角、向量为例》、《高等数学背景下的高考数学命题研究》、《高考数学题出题背景——数列的子列问题》、

《新高考数学极值点偏移压轴题出题背景及命题推广 》、《2021高三八省联考数学卷的导向性分析及数学关键能力的培养》、《新高考：以幂级数为背景的高考题》、《江苏高考数学真题讲析 》、《上海11年高考数学命题趋势研究(2010~2020)》、《2018年江苏高考数学命题的核心素养分析》、《2017年江苏高考数学分析报告》、《2016江苏高考数学填空题的命制、改编及解法探究》、《一道高中数学联赛模拟题的命制与解析》、

《2021年南京师范大学转专业考试仿真练习(命题人：刘蒋巍)》、《高等数学<函数与极限、导数的概念>测试(命题人：刘蒋巍) 》、《一道考研数学题的源与流》、《一道考研数学题的命题研究》、《一道积分不等式的命题研究——演绎深化,逆推生成》等300余部。

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