这个世界上有一条永恒不变的法则（一个统治世界的方程式）

• 一个单一的方程式统治着世界

如果我说曼德尔布罗特集合，一群松鼠，一个滴水的水龙头，我们大脑中的神经元放电和热对流是由一个简单的方程连接起来的呢？也许你会嘲笑我。但数学比小说更神奇。

让我们深入研究一下。

假设你想建立一个松鼠种群的模型。今年，有X只松鼠。那么，明年的数量会是多少呢？一个简单的模型可以是，只要将当前数量乘以一个数字。假设增长率是r，明年松鼠的数量是rX。

如果r=2，这就意味着数量每年会翻一番。但这里有一个问题。这意味着松鼠的数量将永远呈指数增长。这并不可能发生。我们用一些约束条件来约束它。让我们把（1-X）项加到等式中来表示环境的约束条件。

所以它变成了rX(1-X)这里我们想象X是理论最大值的百分比。X从0到1，当它趋于1时，(1-X)趋于0。

相对而言，明年的松鼠数量是X .ₙ₊相对而言，今年的松鼠数量是 Xₙ₊₁ 。我们得到一个方程：

Xₙ₊₁ = rXₙ(1-Xₙ)

这是logistic映射方程。如果你画出Xₙ₊₁相对于 Xₙ，你会得到一个反向抛物线。

在这个图中，t代替了n，但这是一样的。

这是带有负反馈回路的最简单的方程。让我解释一下。今年松鼠的数量（ Xₙ）越多，明年的数量（Xₙ₊₁ ）就越少。

让我们通过例子来理解。

设r为3.4，起始数量Xₙ为0.3（最大数量的30%）。经过计算，我们得到0.816。数量在第一年从0.3增长到0.816。这是一个巨大的增量。但如果我们把0.816作为今年的数量(Xₙ)，明年的数量将是0.510，后年的数量将是0.849。

这里有些问题。若干年后，松鼠的数量大约在0.451到0.842之间波动。当增长率为2或接近2时，人口几乎保持不变。因为两个孩子取代了他们的父母，所以，在一段时间之后，人口几乎是不变的。

假设Xₙ是0.35（最大总体的35%），r是2.34。所以，Xₙ₊₁是0.532。之后一年是0.582，之后一年是0.569。一年后，人口将稳定在0.57。它不会增加或减少太多，几乎固定在0.57，即最大可能数量的57%。数量达到平衡。

现在，即使我们改变初始数量，它迟早还是会达到均衡的。均衡数只取决于r的值，如果r更低，均衡总体就会更低，如果r小于1，均衡总体迟早会降到0。

现在，让我们画另一张图，x轴是r（增长率），y轴是平衡时的数量。首先，当r小于1时，均衡总体保持为0。但当r越过1时，均衡总体持续增长。

• 单值均衡总体

但是当r大于3时，有趣的事情发生了，也许你们也能猜出来。当我们让r=3.4时。均衡总体一直在0.84到0.51之间波动。在那之后，如果永远不会稳定到一个常数值，它就会在两个值之间来回振荡。第一年的人口比较多，第二年比较少，然后第三年又比较高。

随着时间的推移，均衡总体分成4个值。种群以4年为一个周期重复。

• 均衡总体的值一直在两个值之间振荡。

由于周期的长度增加了一倍，所以称为倍周期分岔。随着r的增加，它会导致8、16、32的循环，当r达到约3.57时，就完全混乱了。然后数量就再也没有安定下来。

• 均衡总体值的混沌。

数量变得随机。它是如此的随机，以至于这是在计算机中生成随机数的主要方法之一。这样，一个确定性的机器给出了一个不可预测的答案。虽然没有重复，但是如果您知道初始值，您可以计算给定的值。它实际上是伪随机的。

看看这个图大概r= 3.83。3年后这个种群又重复了一次。周期为3年。随着r越来越大，循环分裂为6、12、24，然后再次混乱。

你可能会想，它看起来像一个分形。大尺度的特征在小尺度上重复。

也许最著名的分形是曼德尔布罗特集合。

• 曼德尔布罗特集合

分形图实际上是曼德尔布罗特集合的一部分。

• 曼德尔布罗特集合下的Logistic映射分形

曼德尔布罗特集合到底是什么？

它是基于一个简单的公式：Zₙ₊₁= Zₙ² C。所以，取一个数字C，任意一个复数，然后从Zₙ= 0开始计算Zₙ₊₁。现在，重复这个等式，一遍又一遍，一遍又一遍，你就明白我的意思了。

现在，如果这个数字变为无穷大，那么这个数字（我们假设为C）不是曼德尔布罗特集的一部分。但是，如果这个数字在无限迭代后仍然是有限的，它是曼德尔布罗特集的一部分。

例如，如果C=3，第一次迭代后，Zₙ₊₁=3。第二次迭代后，Zₙ₊₁=12。第三次迭代后，Zₙ₊₁=147。经过无限的迭代，Zₙ₊₁将是无限的。因此，3不是曼德尔布罗特集合的一部分。

同样，如果C=-1，第一次迭代后，Zₙ₊₁=-1。第二次迭代后，Zₙ₊₁=0。第三次迭代后，Zₙ₊₁=-1。第4次迭代后，Zₙ₊₁=0。相对而言，Zₙ₊₁的值在-1和0之间波动。所以-1是曼德尔布罗特集合的一部分。

曼德尔布罗特集合没有说明的是这些方程是如何保持有限的。所以，我们迭代了这个方程成千上万次，并在z轴上画出了迭代的结果。所以，曼德尔布罗特集合的侧视图实际上是分形图。

现在，我说这个方程决定了一个物种的数量。这是真的吗？当然是。特别是在实验室条件下。不仅如此，这个公式还适用于大量不同的科学领域，而这些领域往往是互不相关的。

阿尔伯特.利布查伯在流体动力学方面的工作首次证实了这个方程。他的实验包括一个装有水银的小矩形盒子。然后他使用一个小的温度梯度来诱导对流，在他的盒子里只有两个反向旋转的圆柱体。他在一篇名为《水银周期加倍，定量测量》的论文中发表了他的发现。研究结果令人震惊。

利布查伯用盒子顶部的探针测量了里面液体的温度。他发现温度有周期性的上升。这类似于逻辑斯蒂方程收敛到一个值。但是，随着温度的升高，在那些滚动的圆筒上可以看到以原来频率的一半的摆动。温度的峰值也在两个不同的高度之间来回变化。他不断地提高温度，他看到周期一遍又一遍地加倍。

• 利布查伯的测试结果。

不仅如此，周期翻倍还可以在其他许多实验中看到，比如我们和蝾螈的眼睛对闪烁的光的反应。而且，很多研究人员发现，周期会在滴水的水龙头里加倍。例如，一开始，你一次只能看到一滴水。然后一次两滴。只要调整旋钮，你就能从滴水的水龙头中得到混乱的行为。

如果你觉得分叉图已经很诡异了，这里还有更多。物理学家米钦·费根鲍姆用每个分岔截面的宽度除以下一个。这个比率接近于一个数字。这是4.669。数字4.669现在被称为费根鲍姆常数。分岔会更快地向右，但是比率总是接近这个固定的值4.669。

4。669已经被认为是一个基本常数，因为它与宇宙中存在的任何其他物理常数都不相关。任何有一个驼峰的方程（例如，Xₙ₊₁= sinx），如果你反复迭代它，就会得到一个分叉。而且这些分岔发生的比率也是一样的，4.669。

分岔图和费根鲍姆常数被认为是普遍的。因为它出现在数学和物理的很多地方。这种普遍性真的很神奇。

这就是主宰整个宇宙的方程式。让我更正一下。它不仅仅是一个方程，它是分岔图和费根鲍姆常数。希望在这一领域有更多的研究，并在更多的自然界现象中检验费根鲍姆常数。只有这样我们才能解开它真正的力量。

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