数学导数的框架（数学分析之导数的应用）

上一篇学习了导数与微分的概念，今天来应用导数。导数在工程学，物理学，生物学及社会科学等领域有广泛应用。

第1节，主要讲两大定理：

• 极小值：设f(x)在邻域U(x0)有定义，若对任意x∈U(x0)，有f(x)≥f(x0) ，则称f(x0)是函数在U(x0)的极小值，x0是极小值点。同理定于极大值。极大值，极小值统计极值。
• 对于极值概念，必须说明是函数的局部性质，定义是邻域，不是整个定义域。当在整个定义域满足极值定义的不等式时，就变为了函数的最值。极值是局部性质，最值是全局性质，这就是极值与最值的关系。
• 费马定理：若f(x)在点x0可导，且x0是f(x)的极值点，则f`(x0)=0
• 费马定理的几何意义：若函数f(x)在极值点x0可导，则曲线y=f(x)在（x0,f(x0)）存在切线，且切线斜率=0；满足f`(x0)=0 的点x0称为驻点或稳定点
• 达布定理(导数界值定理)：设f(x)在[a,b]上可导，且f` (a)≠f`-(b)，η介于f` (a)，f`-(b)之间，则存在ξ∈(a,b)，使得f`(ξ)=η。注意：该定理并不需导函数连续的条件

第2节，中值定理：

• 罗尔中值定理：若f(x)在[a,b]上连续，f(x)在（a,b）上可导，f(a)=f(b)，则存在ξ∈(a,b)，使得f`(ξ)=0
• 拉格朗日中值定理：若f(x)在[a,b]上连续，f(x)在（a,b）上可导，则存在ξ∈(a,b)，使得f`(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)
• 拉格朗日中值定理推论：若f(x)在[a,b]上连续，f(x)在（a,b）上可导，则f(x)是区间上的常值函数<==>在（a,b），f`(x)≡0
• 柯西中值定理：若f(x)，g(x)在[a,b]上连续，f(x)，g(x)在（a,b）上可导，对任意x∈（a,b），有g`(x)≠0，则存在ξ∈(a,b)，使得f`(ξ)/g`(ξ) = (f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))
• 三个中值定理的关系：罗尔中值定理<--条件加强特殊化--拉格朗日中值定理--双函数化-->柯西中值定理。当然应该关注这三个中值定理的几何意义，这样有助于我们的理解

第3节，不定式极限：利用导数理论求某些函数的极限

• 不定式类型，lim f(x)，lim g(x) 同时趋向x0时，极限或为0，或为∞，求∞/∞，∞-∞，0·∞，0^0，1^∞，∞^0型的不定式极限
• 0/0型洛必达法则1：f(x) ，g(x）都在（a,a δ) δ>0 内可导，且 g`(x)≠0 ，lim f(x) = lim g(x) =0 x->a ,
• lim f`(x)/g`(x) =A x->a ,则lim f(x)/g(x) x->a = lim f`(x)/g`(x) =A x->a
• 0/0型洛必达法则2：f(x) ，g(x）都在（a, ∞) 内可导，且 g`(x)≠0 ，lim f(x) = lim g(x) =0 x-> ∞ ,
• lim f`(x)/g`(x) =A x-> ∞ ,则lim f(x)/g(x) x-> ∞ = lim f`(x)/g`(x) =A x-> ∞
• ·/∞型洛必达法则：f(x) ，g(x）都在（a,a δ) δ>0 内可导，且 g`(x)≠0， lim g(x) =∞ x->a ,lim f`(x)/g`(x) =A x->a 则lim f(x)/g(x) x->a = lim f`(x)/g`(x) =A x->a
• ∞/∞型洛必达法则：f(x) ，g(x）都在（a,a δ) δ>0 内可导，且 g`(x)≠0 ，lim f(x) =∞ lim g(x) =∞ x->a ,lim f`(x)/g`(x) =A x->a ,则lim f(x)/g(x) x->a = lim f`(x)/g`(x) =A x->a
• 对于∞-∞等其他类型，转化为上集中形式求解，另外，注意多结合四则运算和高阶无穷小替换求解

第4节，泰勒公式：泰勒公式很重要，对复杂函数，用多项式近似表达会比较好研究，泰勒公式就是沟通了函数与多项式的工具，这是一种逼近

• Tn(x) = f(x0) f`(x0)(x-x0) f``(x0)/2! (x-x0)^2 ... f^(n)(x0)/n! (x-x0)^n ,这个称为泰勒公式
• 带Peano型余项的泰勒公式定理：若f(x)在x0处n阶可导，则 f(x) = Tn(x) o((x-x0)^n) x->x0
• 特别地，当x0=0时，带Peano型余项的泰勒公式 称为带Peano型余项的麦克劳林公式
• 带拉格朗日型余项的泰勒公式定理，又称泰勒中值定理：若f(x)在邻域(x0)有n 1阶导，则对任意的x∈U。(x0)，存在ξ介于x与 x0之间，使得 f(x)=Tn(x) f^(n 1)(ξ)·(x-x0)^(n 1)/(n 1)!
• 特别地，当x0=0时，带拉格朗日型余项的泰勒公式 称为 带拉格朗日型余项麦克劳林公式
• 注意熟悉初等函数的麦克劳林公式
• 泰勒公式的应用：近似计算，求函数极限，证明不等式，求高阶导在某点的值

第5节，函数的单调性与凸性：利用导数讨论单调性与凸性的关系

• 单调性定理：设f(x)在(a,b）内可导，则f(x)在(a,b）递增 <==> 对任意x∈(a,b），f`(x)≥0 ；递减同理成立
• 严格单调性定理：设f(x)在(a,b）内可导，则f(x)在(a,b）严格递增 <==> 对任意x∈(a,b），f`(x)≥0 且f`(x)在任何子区间上不恒为0 ；严格递减同理成立
• 下凸函数：设f是定义于区间I上的函数，若对I上任意两点x1,x2及任意实数λ∈(0,1)，总有 f(λx1 (1-λ)x2)≤λf(x1) (1-λ)f(x2)
• 上凸函数：设f是定义于区间I上的函数，若对I上任意两点x1,x2及任意实数λ∈(0,1)，总有 f(λx1 (1-λ)x2)≥λf(x1) (1-λ)f(x2)
• 凸性定理1：f(x)在I为下凸函数<==>对I上任意三点 x1<x2<x3，总有 [f(x2)-f(x1)]/[x2-x1]≤[f(x3)-f(x2)]/[x3-x2]
• 凸性定理推论：f(x)在I为下凸函数<==>对I上任意三点 x1<x2<x3，总有 [f(x2)-f(x1)]/[x2-x1]≤[f(x3)-f(x1)]/[x3-x1]≤[f(x3)-f(x2)]/[x3-x2]
• 凸性定理2：若f(x)在(a,b)内为下凸函数，则f(x)在(a,b)内连续，且单侧导数处处存在。建立了导数，连续，下凸的关系
• 凸性定理3：设f(x)在区间I可导，则以下论断等价： 该定理建立了下凸和单调的关系
• 1）f(x)是I上的下凸函数

2）f`(x)是I上的单调递增函数

3）对任意x1,x2∈ I ，总有 f(x2)≥f(x1) f`(x1)(x2-x1)

• 凸性推论：若f(x)是I 上的二阶可导，则f(x)是I上的下凸函数 当且仅当 f``(x)≥0，x∈I
• 说明：由于上凸函数 与 下凸函数的关系：设f(x)是I上的上凸函数，当且仅当，-f(x)是I的下凸函数，故以上定理只讨论下凸的情况
• 拐点：设f(x)在x0连续，若函数在x0左右两侧的上下凸性相反，则点（x0,f(x0)）为拐点
• 拐点定理：若f(x）在点x0二阶可导，（x0,f(x0)）为函数的拐点，则f``(x0)=0
• 单调性与凸性的应用：证明一些不等式，如，詹森不等式，平均值不等式

第6节，函数的极值与最值：专门讨论极值判别法

• 极值第一判别法：设f(x)在点x0连续，在x0的某去心邻域U。(x0)可导，若对任意x∈U。-(x0)，f`(x)≥0，对任意x∈U。 (x0)，f`(x)≤0, 则x0是极大值点；若对任意x∈U。-(x0)，f`(x)≤0，对任意x∈U。 (x0)，f`(x)≥0, 则x0是极小值点；若f`(x)在该邻域内恒正 或恒负，则该点不是极值点
• 极值第二判别法：设f(x)在点x0二阶可导，且f`(x0）=0，则 当f``(x0)>0 时，x0是极小值点；则 当f``(x0)<0 时，x0是极大值点
• 最值：在连续闭区间上，必有最值。最值是从（函数所有稳定点，不可导点，区间端点）的函数值中产生的

第7节，函数作图：分析函数的各种性态和趋势来作图：

• 渐进性：垂直渐近线 和 斜渐近线
• 函数图形的描绘：描点法
• 1）确定函数定义域，奇偶性，周期性，有界性，求函数的一阶导，二阶导。
• 2）找出函数的所有零点，间断点和一二阶导不存在点，再根据定义划分成若干个子区间。
• 3）确定子区间部分区间内的一二阶导的符号，并由此确定函数的单调性，凸型，极值点和拐点
• 4）确定函数图形的渐近线
• 5）计算出每段的特殊点，关键点，典型点，用平滑曲线连接相应点