高中数学函数问题汇总（高中数学易错点）

大家好，我是青蒿数学宋老师，今天分享的内容是函数的定义。提起函数，毫无疑问，是高中数学中最重要的模块，重要到什么程度呢，高考中一半以上的题目都跟函数有关系！

但对于这么一个重要的问题，很多同学却对函数的定义不甚了解，从而导致解题过程中出现这样那样的错误，今天宋老师就带你深入理解一下这个概念。

1. 函数与映射的关系及其官方定义

在初中，函数的定义是从“自变量x与因变量y之间的变化关系”这个角度来进行定义的。

而高中阶段，函数的定义是从集合的角度来进行定义的，所以把函数与集合放在第一章（人教版）。说起函数，就不得不提到另外一个概念——“映射”，下面我们把课本对这两个概念的定义放在下面进行对比：

函数与映射的关系

上面的定义是用数学的语言进行描述的，因此，看起来比较抽象，后面宋老师会给大家进行通俗的解读。

但仅从字面意义也可以看出，函数与映射的定义几乎完全一样！二者都是描述的两个集合之间元素与元素的对应关系。

唯一的区别是函数描述的两个数集间的元素对应关系，而映射描述的是任意两个集合间元素的对应关系。因此，函数是一种特殊的映射。

大家可能觉得映射这个概念比较陌生，其实，你从幼儿园就开始玩映射游戏啦，我们可以用两个例子进行说明：

函数和映射的例子

2. 函数定义的关键点

研究透函数的定义是学好函数的基础，在函数的定义中有以下几点是非常重要及易错的，也是最常见的考点：

（1）任意性：集合A中的任意一个元素必须在集合B中有元素与其相对应，即集合A中的元素不可以有空缺；

任意性

（2）唯一性：集合A中的元素只可以跟集合B中的一个元素相对应，不可以对应多个，即 “可以多对一，不可以一对多”；

唯一性

（3）函数三要素：①定义域，即集合A中的所有元素；②对应法则，即集合A中的元素是按照什么原则与集合B中的元素进行对应，常以解解析式的形式出现；③值域，是集合B中有元素与其相对应的元素所构成的集合，即值域包含于B，这是个易错点。对于一个函数来说，只要定义域和对应法则确定，则该函数就确定了。

三要素

3. 函数定义的通俗版解释

为了让大家更加深入的理解函数，避免死记硬背，宋老师用通俗的语言来解释一下函数的定义。

函数，就是两个集合间的对应关系，我们可以把集合A看成女生，集合B看成男生。因此，所谓的函数，就是女生、男生找对象的游戏，每一个女生都是天使，都必须要嫁出去（任意性），但不能一女二嫁（唯一性），当然啦，多个女生是可以嫁给同一个男生的（封建社会），其中，只有找到对象的男生才有资格称为值域的一员，单身狗是没资格滴！

通俗理解例题1

通俗理解例题2

4. 函数的表示及解析式的理解

我们知道，表示一个函数有三种方法：解析式法、图象法及列表法，其中重点是解析式法，是我们最常用的，而图象法是我们解题重要的辅助，便于我们数形结合的解决问题。

但教学过程中发现，很多同学对函数解析式的理解不到位。

解析式题解

因此，函数也可以看成一个“数字转化机”，那一对括号可以看成一个大嘴巴，等号后面就是输出的结果，往嘴巴里放入任何一个数字，都会按照既定的游戏规则输出。

数字转化机

而分段函数，则可以看成这个“数字转化机”变的聪明了，会根据输入的数值不同，采用不同的游戏规则。因此涉及到分段函数时，大多数情况下都要进行分类讨论。

数字转化机

最后来一道经典的例题，看看大家对函数的理解如何：

经典例题

答案解析

答案解析

答案解析

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