高考数学外接球内切球总结（外接球球心问题）

“花不尽，月无穷。两心同。此时愿作，杨柳千丝，绊惹春风”

立体几何中与多面体相关的外接球问题，在近些年的高考中悄然兴起，多以客观题方式出现，解决此类问题可以有2个策略，其一，利用模型，借助长方体，四面体等几何体，构建立体模型；其二，定位球心位置，通常两个截面的外心垂线的交点，即为球心。事实上如果找到球心位置，自然就找到了半径，外接球的问题自然就可解决。

今天介绍5个结论和8个模型，并配有相应的练习题，如果能依题意选取恰当的模型和结论，相信大家定能在外接球问题上披荆斩棘。

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结论1：长方体的外接球的球心在其体对角线的中点处.

模型一 长方体

①“墙角模型”，在某个定点处的三条侧棱两两垂直；

方法：将三条侧棱分别看成长方体的长、宽、高，并设为a、b、c，则长方体的体对角线长度则为球的直径！

公式：2R=√（a² b² c² ）

例1 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积为（　　）

【解析】由三视图知该几何体为四棱锥，两两互相垂直，形似“墙角”，而正方体的体对角 线就是其外接球的直径，故外接球的直径，所以2r＝√3．

练习1.1 已知点P,A,B,C,D是球O表面上的点,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是边长为2√3正方形.若PA=2√6,则△OAB的面积为______________.

【答案】3√3

练习1.2 若三棱锥的三个侧棱两两垂直，且侧棱长均为√3，则其外接球的表面积是　　　　.

【答案】9π

②直三棱柱，并且底面为直角三角形

方法：补成相应长方体，求体对角线

公式：2R=√（a² b² c² ）

例2 直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，BC＝2√2，则三棱柱ABC﹣A1B1C1的外接球的表面积为（　　）

A．36π B．28π C．16π D．12π

【解析】由于直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面ABC为等腰直角三角形，把直三棱柱ABC﹣A1B1C1补成长方体，则长方体的体对角线是其外接球的直径，

练习2.1 直三棱柱ABC﹣A1B1C1的六个顶点都在直径为√61的球面上，且AB＝3，AC＝4，BC＝5，点D是棱BB1的中点，则该四棱锥D﹣ACC1A1的体积为（　　）

A．24 B．32 C．36 D．72

【答案】A

③对棱相等三棱锥

方法：构造一个长方体，使得三棱锥的六条棱分别是长方体各个面的对角线．

解题步骤：1.设长方体长宽高为a、b、c，三棱锥的对棱分别是A、B、C

2. 列方程组

a² b²=A²

b² c²=B²

c² a²=C²

3.相加除以2后得：a² b² c²=1/2（A² B² C²）=（4R）²

例3 在三棱锥A- BCD中，AB=CD=6，AC=BD=AD=BC=5，则该三棱锥的外接球的表面积为___________

【答案】43π

练习3.1 在半径为5的球面上有不共面的四个点A、B、C、D，且AB＝CD＝x，BC＝DA＝y，CA＝BD＝z，则 x2 y2 z2＝（　　）

A．120 B．140 C．180 D．200

【答案】D

结论2：若棱锥侧面有共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点为外接球的球心。

模型二 有共斜边的直角三角形

方法：寻找有公共斜边的两个直角三角形，斜边中点为球心

例4 将长宽分别为3和4的长方形ABCD沿对角线AC折起直二面角，得到四面体A﹣BCD，则四面体A﹣BCD的外接球的表面积为（ ）

A． 25π B． 50π C． 5π D． 10π

【解析】ABC和ADC为两个RT三角形，公共的斜边是AC，则AC中点为外接球的球心，R=25/2

故选A

结论3：正棱锥的外接球的球心在体高上，列方程确定具体位置

模型三 正棱锥模型

静态展示

动态展示

其中r是底面圆外接圆半径，d是球心到截面的距离，h是体高，R是球半径

结论4：直棱柱球心在上下面的外接圆圆心连线的中点

模型 直棱柱

①正棱柱模型--球心在上下面中心的连线的中点处

②一般直棱柱模型--球心在上下底面三角形外心的连线的中点处.

结论5：过几何体两个面的外心分别作这两个面的垂线，垂线的交点即为球心

模型 一般三棱锥--过两个面外心（外心较易找到）作垂线，垂线交点即为圆心

【解析】设AB的中点为M，由△ACB是等腰直角三角形，则M为△ACB的外心，可证PM⊥面ACB，故球心在直线PM上，延长PM交球于另外一点N，则PN为球的直径，连接AN。

故选B

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