广东中考数学第四题解析（数学中考题解析）

各位朋友，“数学视窗”继续与大家分享中考数学试题，选取有一定难度的解答题进行讲解。今天分享的是2021年广东中考数学试卷第24题，此题是有关圆的综合题，第1、2小题比较简单，第3小题有一定难度。这道题考查了平行线的性质，切线的判定，锐角三角函数，矩形的判定和性质等知识。下面，我们就一起来看如何解答这道题吧！

例题：（2021·广东第24题）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB≠CD，∠ABC=90°，点E、F分别在线段BC、AD上，且EF∥CD，AB=AF，CD=DF．

（1）求证：CF⊥FB；

（2）求证：以AD为直径的圆与BC相切；

（3）若EF=2，∠DFE=120°，求△ADE的面积．

分析与解答：（以下的过程仅供参考，部分过程有所省略，可能还有其他不同的解题方法）

（1）此小题的解题思路是利用条件推出FB，FC是一对邻补角的角平分线，再进行等量代换即可。

证明：∵CD=DF，

∴∠DCF=∠DFC，

∵EF∥CD，

∴∠DCF=∠EFC，

∴∠DFC=∠EFC，

∴∠DFE=2∠EFC，

∵AB=AF，

∴∠ABF=∠AFB，

∵CD∥EF，CD∥AB，

∴AB∥EF，

∴∠EFB=∠AFB，

∴∠AFE=2∠BFE，

∵∠AFE ∠DFE=180°，

∴2∠BFE 2∠EFC=180°，

∴∠BFC=∠BFE ∠EFC=90°，

∴CF⊥BF；

（2）证明：如图，取AD的中点O，过点O作OH⊥BC于H，

（过圆心作垂线，再证明垂线段等于半径即可）

∴∠OHC=90°=∠ABC，

∴OH∥AB，

∵AB∥CD，

∴OH∥AB∥CD，

∵点O是AD的中点，

∴点H是BC的中点，

连接并延长交BA的延长线于G，

∴∠G=∠DCO，

∵∠AOG=∠DOC，OA=OD，

∴△AOG≌△DOC（AAS），

∴AG=CD，OC=OG，

∴OH是△BCG的中位线，

∴OH=1/2BG=1/2（AB AG）

=1/2（AF DF）=1/2AD，

∵OH⊥BC，

∴以AD为直径的圆与BC相切；

（3）由（1）知∠DFE=2∠EFC，

∵∠DFE=120°，

∴∠CFE=60°，

在Rt△CEF中，EF=2，

∠ECF=90°-∠CFE=30°，

∴CF=2EF=4，

∴CE=2√3，（运用勾股定理求出）

由（1）知，∠CFB=90°，

∵∠CFE=60°，

∴∠BFE=30°，

在Rt△BEF中，EF=2，

∴BE=EF•tan30°=2√3 /3，

∵AB∥EF∥CD，

∴S△AEF=S△BEF，S△DEF=S△CEF，

（等底等高的三角形面积相等）

∴S△ADE=S△AEF S△DEF

=S△CEF S△BEF

=S△BCF

=1/2•EF•BC

=1/2•EF•（BE CE）

（代入数据略）

=8√3 /3．

（完毕）

这道题是关于圆的综合题，难点是将三角形的面积进行分解和转换。温馨提示：朋友们如果有不明白之处或者有更好的解题方法，欢迎大家给“数学视窗”留言或者参与讨论。

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