斐波那契推导公式（斐波那契恒等式和秦九韶公式的奇妙联系）

斐波那契恒等式和秦九韶三斜求积公式是东西方数学的研究成果，两位同时期的数学家远隔万里没有交集，恒等式和秦九韶公式看上去风马牛不相及。2020年，中学数学杂志发表的一篇文章揭示了二者之间产生的奇妙联系，读来引人入胜，如沐春风。

用斐波那契恒等式证明秦九韶公式

本文主要介绍中学老师曹嘉兴的研究成果。下面的图片是我抄录的全文，之间穿插几条我的注释，帮助大家更好地阅读和理解。

原文标题：秦九韶公式的两个奇妙证明

注释1

把(3)式展开

p²-2px x² y²-2qy q²=c²

p² q² x² y²-2(px qy)=c²

a² b²-2(px qy)=c²

注释2

py-½xy-½pq-½(p-x)(y-q)

=py-½xy-½pq-½(py-pq-xy qx)

=½(2py-xy-pq-py pq xy-qx)

=½(py-qx)

注释3

a² b²-c²=x² y² p² q²-(q x)²

=x² y² p² q²-q²-2qx-x²

=p² y²-2qx

∵p=y ∴p² y²=py py=2py

注释4

矩形面积等于三角形面积的两倍，所以得到④式。

总结和读后感

总结：看完原文，衷心的赞叹不已，perfect，无懈可击。好比看了一场精彩的演出，神奇又令人回味无穷，感到不可思议。

曹老师独创的两个证明构思巧妙，用辅助图形搭桥，严谨的推理环环相扣，层层推进，用斐波那契恒等式证明了秦九韶公式，具有无可辩驳的逻辑力量。

这两个证法都超越了辅助线，而是使用了辅助图形协助论证。辅助元素可以是一个点，或者是一条线，也可能是一个图形。使用矩形作辅助图形的目的，就是构造直角三角形，用小学数学的三角形面积公式和勾股定理来证明秦九韶公式。用辅助图形架桥，使用了面积方法，完成了漂亮的证明。我们也体会到了面积法的妙用。

根据吴文俊先生的古证复原成果，秦九韶失传的原证应该是包含了三角形面积公式，勾股定理，折竹求高公式的综合体。

初步认识斐波那契恒等式

斐波那契(Fibonacci，1170-1250)是意大利数学家，他早年随父在北非师从阿拉伯人学习数学，后游历地中海沿岸诸国，1202年回到意大利故乡比萨，用拉丁文写作其代表作《算盘书》。

《算盘书》中出现了和《孙子算经》中一样的同余式问题。有学者认为，一种可能是通过丝绸之路由阿拉伯人传授了这一算法，也可能是偶然巧合。比利时学者李倍始在《十三世纪中国数学》书中认为斐波那契没有对其解法作理论或一般解释，因此他的解题水平并没有超过《孙子算经》。

《数学名题词典》截图

上图是《算盘书》中的一个比例问题。解题关键是用归一法求出每人每天的植树株数。

《算盘书》系统地介绍了印度计数法和阿拉伯与希腊的数学成就，影响并改变了当时欧洲的数学面貌。书中有斐波那契恒等式，以及著名的斐波那契数列。

(ac-bd)² (bc ad)²=(a² b²)(c² d²)......①

(ac bd)² (bc-ad)²=(a² b²)(c² d²)......②

上面两个等式称为斐波那契恒等式。第一次见面感觉陌生，那就举个例子让大家熟悉一下。

请看下图，△ABC是直角三角形，D是斜边AB上的动点。假设D是直角三角形ABC的外接圆圆心，CE是斜边上的高，a，b，c，d都是正数，含义如图所示。

根据勾股定理，斜边AB=10，CD是外接圆的半径=5，高CE=6×8÷10=4.8，根据射影定理，AE=3.6，BE=6.4，所以DE=5-3.6=1.4。

现在我们把a，b，c，d这四个数代入斐波那契恒等式，看看两边是否相等。

先算左边，代入数据得

(6×4.8-8×1.4)² (8×4.8 6×1.4)²

=(28.8-11.2)² (38.4 8.4)²

=17.6² 46.8²

=309.76 2190.24

=2500

再算右边，代入数据得

(6² 8²)(4.8² 1.4²)

=(36 64)(23.04 1.96)

=100×25

=2500

验证完毕，只要你计算过程不出错，恒等式当然成立。

斐波那契恒等式的正确性只用初中数学知识也能证明。

(ac-bd)² (bc ad)²=(a² b²)(c² d²)......①

(ac bd)² (bc-ad)²=(a² b²)(c² d²)......②

①式左边展开得

(ac-bd)² (bc ad)²

=a²c²-2abcd b²d² b²c² 2abcd a²d²

=a²c² b²d² b²c² a²d²

②式左边展开得

(ac bd)² (bc-ad)²

=a²c² 2abcd b²d² b²c²-2abcd a²d²

=a²c² b²d² b²c² a²d²

①式和②式的右边展开得

(a² b²)(c² d²)=a²c² a²d² b²c² b²d²

所以，得到结论

①式和②式这两个斐波那契恒等式成立。

斐波那契恒等式和代数，几何，数论等几个分支的定理都有联系，这是数学是一门关系学的具体体现之一。

科学尚未普及，媒体还需努力。感谢阅读，再见。

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