高等代数的重要定义和定理（高等代数知识结构）

高等代数知识结构

一、高等代数知识结构图

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二、高等代数知识结构内容

（一）线性代数：

工具：线性方程组

1.行列式：

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乘此行列式。

性质3.如果某一行是两组数的和，那么这个行列式就等于两个行列式的和，而这两个行列式除这一行以外与原行列式的对应行一样。

性质4.如果行列式中两行相同，那么行列式为零。（两行相同就是说两行对应元素都相同)

性质5.如果行列式中两行成比例。那么行列式为零。

性质6.把一行的倍数加到另一行，行列式不变。

性质7.对换行列式中两行的位置，行列式反号。

2.矩阵：

a.矩阵的秩：矩阵A中非零行的个数叫做矩阵的秩。

b.矩阵的运算

定义 同型矩阵：指两个矩阵对应的行数相等、对应的列数相等的矩阵．　

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矩阵的等价变换形式主要有如下几种：

1）矩阵的i行（列）与j行（列）的位置互换；

2）用一个非零常数k乘矩阵的第i行（列）的每个元；

3）将矩阵的第j行（列）的所有元得k倍加到第i行（列）的对应元上去。

3.线性方程组

一般线性方程组.这里所指的一般线性方程组形式为

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a.线性方程组的解法

1)消元法

在初等代数里，我们已经学过用代入消元法和加减消元法解简单的二元、三元线性方程组.实际上，这个方法比用行列式解方程组更具有普遍性.但对于那些高元的线性方程组来说，消元法是比较繁琐的，不易使用.

2)应用克莱姆法则

对于未知个数与方程个数相等的情形，我们有

定理1 如果含有

个方程的

元线性方程组

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4.向量相关性

a.判断向量组线性相关的方法

1)线性相关

2)的对应分量成比例线性相关

3)含有零向量的向量组是线性相关的

4)向量组线性相关该组中至少有一个向量可由其余的向量线性表出5)部分相关则整体相关

6)设向量组可由向量组线性表出,如果r>s,则线性相关；

7)n 1个n维向量必线性相关(个数大于维数)

8)该向量组的秩小于它所含向量的个数向量组线性相关

9)n个n维的向量构成的行列式=0 该向量组是线性相关的

10)线性相关向量组中每个向量截短之后还相关

b.判断向量组线性无关的方法

1)线性无关

2)的对应分量不成比例 线性无关

3)向量组线性无关该组中任何一个向量都不能由其余的向量线性表出

4)整体无关则部分无关

5)线性无关向量组中每个向量加长之后还无关

6)该向量组的秩等于它所含向量的个数 向量组线性无关

7)n个n维的向量构成的行列式0 该向量组是线性无关的

(二)中心课题：线性规范型

1.二次型 线性流型：

二次型及其矩阵表示

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