祖暅原理求球体体积（祖暅原理与体积）

应同事之邀，来研究“祖暅原理”，说实话，对这个原理之前我还真没有深入研究，原因很简单，高考不考。这也从侧面反映小编对数学的功利性以及不严谨的治学态度。改正，马上改正，知错就改，一直以来都是小编的优良传统。

祖暅，何许人也？在提他之前，先得说说这个“暅”字，读作“geng”，四声，与“更”同音，是不是有人在擦汗，是不是有人象以前的我一样，小编第一次看到这个的时候，就读作“恒”，秀才识字读半边嘛，呵呵！这从另外一个角度也告诉我们一件事，就是各位看官在以后给孩子取名的时候，千万别只顾炫耀自己的文采，给孩子弄个生僻字，免得别人和你家孩子都尴尬。忽然想起一个笑话：有个学生名字叫“马騳[dú]骉”，开学点名了，班主任不知怎么念，所以每当上课点名的时候，总爱说马叉叉到了没。语文课上，语文老师有点文学素养，问：万马奔腾到了没？接下来是体育课，体育老师直接改用“一群马到了没”。历史老师对这个名字很不感冒，于是点名：马家的五马分尸来了没有……作为插曲，博大家一笑。书归正传，祖暅，何许人也？字景烁，范阳郡蓟县人，也就是如今我们大河北省涞源县人。南北朝时期的伟大数学家、天文学家，说到这里，大家可能会想起一个人，祖冲之，也是这个时期的，都姓祖，那他们俩是不是有关系？有，还真有，并且很近。正所谓“老子英雄儿好汉”。这个祖暅就是祖冲之的儿子，亲生的。当然大家可能听到老子更多一些，但这个祖暅也是一个了不起的好汉，他在数学上有着突出的贡献。今天我们不表他的其他成就，单谈一谈他在5世纪末提出的“祖暅原理：缘幂势既同，则积不容异。”“幂”是截面积，“势”是立体的高。意思是两个同高的立体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等。更详细点说就是，界于两个平行平面之间的两个立体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积恒相等，则这两个立体的体积相等。上述原理在中国被称为祖暅原理。

当然，我们也可以从微观角度来解释，我们都知道“点动成线，线动成面，面动成体”这句话，直线由点构成，点的多少表示直线的长短；面由线构成，也就是由点构成，点的多少表示面积的大小；几何体由面构成，就是由线构成，最终也就是由点构成，点的多少也表示了体积的大小，要想让两个几何体的体积相等，也就是让构成这两个几何体的点的数量相同，祖暅原理就运用到了它。两个几何体夹在两平行平面中间，可以理解为这两个几何体平行面间的的高度相等。两平行面之间的距离一定，若视距离为一条线段，那么这个距离上就有无数个点，过一个点，可以画出一个平行于两平行面的截面，若两几何体在被过每一点的平行截面截出的截面面积两两相等，则说明两几何体在同一高度下的每两个截面上的点的数量相同。有无数个截面，同一高度每两个几何体的截面上的点的数量相同，则说明，这两个几何体所拥有的点数量相同，那么也就是说，它们的体积相同。所以我们可以用这种思想来理解祖暅原理。

我们利用“祖暅原理”以及长方体公式，我们很容易推出柱体、锥体、球体的公式。实际上“祖暅原理”就是祖暅同他的老爷子祖冲之一起解决球面积、体积问题时衍生出来的。

一、柱体

设有底面面积都等于S，高都等于h的任意一个棱柱、一个圆柱和一个长方体，使它们的下底面在同一个平面内，由柱体的定义，平行于底面的任意平面截柱体得到与底面全等的图形，所以面积相等。根据“祖暅原理”，可知它们的体积相等，由长方体的体积公式，可以得到：

二、锥体

我们先来研究棱锥。

设有底面面积都等于S，高都等于h的任意两个棱锥，使它们的下底面在同一个平面内，由棱锥的定义，平行于底面的任意平面截锥体得到与底面相似的图形。

进而得到平行于底面的任意平面截锥体得到的截面面积相等，根据“祖暅原理”，可知它们的体积相等，即底面积相等，高相等的锥体体积相等。

由三棱锥体积公式可以得到

三、球体

为了解决球体的体积，我们先来研究半球的体积，如果要想利用祖暅原理，我们需要构造一个可以求出体积的，并且它和半球的高度一样，并且用任何一个水平面去截它们时，得到的截面面积都相等的几何体。这种构造堪称中学教材上构造性的典范。

由此可以知道，利用祖暅原理求几何体的体积，关键是找出一个满足条件的能够求出体积的几何体，实际上我们也可以由“祖暅原理”推导出椭球体，旋转抛物体以及旋转单叶双曲面所围成的几何体的体积。有兴趣的同学可以尝试解决一下。