中考数学二次函数课堂分类汇编(中考总复习3:分式与二次根式)

中考总复习3:分式与二次根式

【考纲要求】

1. 了解分式的概念,会利用分式的基本性质进行约分和通分,会进行分式的加、减、乘、除、乘方运算;能够根据具体问题数量关系列出简单的分式方程,会解简单的可化为一元一次方程的分式方程;

2. 利用二次根式的概念及性质进行二次根式的化简,运用二次根式的加、减、乘、除法的法则进行二次根式的运算.

【考点梳理】

考点一、分式的有关概念及性质

1.分式

  设A、B表示两个整式.如果B中含有字母,式子就叫做分式.注意分母B的值不能为零,否则分式没有意义.

2.最简分式

  分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.如果分子分母有公因式,要进行约分化简.

要点诠释:

分式的概念需注意的问题:

 (1)分式是两个整式相除的商,其中分母是除式,分子是被除式,而分数线则可以理解为除号,还含有括号的作用;

(2)分式中,A和B均为整式,A可含字母,也可不含字母,但B中必须含有字母且不为0;

(3)判断一个代数式是否是分式,不要把原式约分变形,只根据它的原有形式进行判断.

(4)分式有无意义的条件:在分式中,

①当B≠0时,分式有意义;当分式有意义时,B≠0.

   ②当B=0时,分式无意义;当分式无意义时,B=0.

  ③当B≠0且A = 0时,分式的值为零.

考点二、分式的运算

1.基本运算法则

  分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下:

(1)加减运算

同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减.异分母的分式相加减,先通分,化为同分母的分式,然后再按同分母分式的加减法则进行计算.

(2)乘法运算

两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母.

(3)除法运算

两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.

(4)乘方运算 (分式乘方)

分式的乘方,把分子分母分别乘方.

2.零指数 .

3.负整数指数  

4.分式的混合运算顺序

  先算乘方,再算乘除,最后加减,有括号先算括号里面的.

5.约分

  把一个分式的分子和分母的公因式约去,这种变形称为分式的约分.

6.通分

 根据分式的基本性质,异分母的分式可以化为同分母的分式,这一过程称为分式的通分.

考点三、分式方程及其应用

1.分式方程的概念

  分母中含有未知数的方程叫做分式方程.

2.分式方程的解法

  解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程.

3.分式方程的增根问题

  验根:因为解分式方程可能出现增根,所以解分式方程必须验根.验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中,看它是否为0,如果为0,即为增根,不为0,就是原方程的解.

4.分式方程的应用

  列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似,但要稍复杂一些.解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节,从而正确列出方程,并进行求解.另外,还要注意从多角度思考、分析、解决问题,注意检验、解释结果的合理性.

考点四、二次根式的主要性质

考点五、二次根式的运算

1.二次根式的乘除运算

(1)运算结果应满足以下两个要求:①应为最简二次根式或有理式;②分母中不含根号.

(2)注意知道每一步运算的算理;

2.二次根式的加减运算

先化为最简二次根式,再类比整式加减运算,明确二次根式加减运算的实质;

3.二次根式的混合运算

(1)对二次根式的混合运算首先要明确运算的顺序,即先乘方、开方,再乘除,最后算加减,如有括号,应先算括号里面的;

(2)二次根式的混合运算与整式、分式的混合运算有很多相似之处,整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用.

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