初学者分段函数（想说爱你也容易）

函数是历届高考数学考查重点热点的内容，而分段函数却又以其独特的表现形式和丰富的内涵倍受广大师生和命题者的青睐。究其原因主要是分段函数能集各种函数性质于一体，它能综合地考查函数的各种性质。下举例谈谈分段函数考查的常见类型及方法解析。

一、定义域问题

例1、 求函数f(x)的定义域.

解：由函数的定义易知，函数f(x)的定义域是[0，2]。

评析：对于分段函数，它的定义域为所有分段区间的并集。

二、值域（最值）问题

例2、求函数y的最大值。

解：当x≤0时，y≤3; 当01时，y<4。综上易知原函数的最大值为4。≤4;当x>

评析：处理分段函数的最基本的方法是“分段函数分段处理”。对于分段函数，它的值域也是所有分段区间值域的并集。

三、解析式问题

例3、定义在[-π，π]的奇函数f(x)，在[0，π]上的解析式为，

求f(x）在[-π，0）的解析式。

解：由奇函数的定义可分类求解：

-π≤x<-π/2时，则π/2<-x≤π, 从而f(-x)=-f(x)=-x,得到f(x)=x。

-π/2≤x<0时，则0<-x≤π/2, 从而f(-x)=-f(x)=-xsin(-x）=xsinx,得到f(x)=-xsinx。

故f(x）在[-π，0）的解析式为:

评析：分段函数对称区间上的解析式通常与函数的奇偶性结合考查，关键是将未知区间转化为已知区间结合函数的奇偶性求解。

四、周期性问题

例4，已知

求f(2005)。

解析：由已知当x不属于[0，1]时，

f(x)=-f(x 3),所以f(x 3)=-f(x),进而有f(x 6)=-f(x 3）=f(x),

从而知f(x)的一个周期为6的函数，于是f(2005)=f(6*334 1)=f(1)=1/2。即求得f(2005)=1/2。

评析：求解本题的关键是如何将未知区间的函数值转化为已知区间来完成，从而借用函数的周期性来转化。

五、图象问题

例5．某市郊空调公共汽车的票价按下列规则制定：

（1） 乘坐汽车5公里以内，票价2元；

（2） 5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里按5公里计算）．

已知两个相邻的公共汽车站间相距约为1公里，如果沿途（包括起点站和终点站）设20个汽车站，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象．

解：本例是一个实际问题，有具体的实际意义．根据实际情况公共汽车到站才能停车，所以行车里程只能取整数值．设票价为y元，里程为x公里，根据题意，如果某空调汽车运行路线中设20个汽车站（包括起点站和终点站），那么汽车行驶的里程约为19公里，所以自变量x的取值范围是{x∈N*| x≤19}．

由空调汽车票价制定的规定，可得到以下函数解析式：

根据这个函数解析式，可画出函数图象，如下图所示：

评析：本例具有实际背景，解题时应考虑其实际意义，特别是注意函数的定义域对图象的决定作用。

六、连续性问题

例6、判断函数f(x)在x=0处的连续性。

解：因为

又因为 f(0)=-1/2 ，所以函数f(x)在x=0处连续。

评析：判断分段函数在分界点处是否连续，首先要判断函数在该点处的极限是否存在，然后考察f(x)在该点的极限值是否等于函数在该点处的函数值，若相等，则函数在分界点处连续，否则就不连续。

七、相关不等式问题

例7、设函数

若f(a)>a，则实数a的取值范围为___________.

解：分两类求解。

a≥0时，f(a)=a/2-1>a，得到a<-2,矛盾，从而原不等式无解；

当a<0时，f(a)=1/a>a, 从而得到a<-1满足要求。

故实数a的取值范围为（-∞，-1）。

评析：不同区间上函数解析式的确定是解处理分段函数的重要前提和出发点。本题通过分类讨论是问题具体化而得以解决。

八、实际应用问题

例8、某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元。

（I）当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？

（II）设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元，写出函数P=f(x)的表达式；

（III）当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个，利润又是多少元？（工厂售出一个零件的利润＝实际出厂单价－成本）

解：（I）设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为x*个，则x*=100 (60-51)/0.02=550，

因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好降为51元。

（II）当0

当时100

当x≥550时，P=51。

所以:

（III）设销售商的一次订购量为x个时，工厂获得的利润为L元，则

当x=500时，L=6000；当x=1000时，L=11000，

因此，当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6000元； 如果订购1000个，利润是11000元。

评析：本题主要通过分段函数的形式来考查函数的基本知识以及应用数学知识分析问题和解决问题的能力。其中分段函数解析式的正确求出以及解决本题的关键。

九、综合性问题

例9 、已知函数

其中,

（I）在下面坐标系上画出y=f(x)的图象；

（II）设y=f(x), x∈[1/2,1]的反函数为y=g(x)，a=1,

求数列{an}的通项公式，并求

（III）

解（I）函数图象如下图。

说明：图象过(0 , 1/2)、(1/2 , 1)、(1 , 0)点；在区间[0 , 1/2)上的图象为上凸的曲线段；在区间[1/2 , 1]上的图象为直线段。

（II）：f(x)=－2x－2，x∈[1/2,1]的反函数为y=1 - x/2, x∈[0,1]：由已知条件得：

即

(III）由已知x0∈[0,1/2), ∴x= f(x0)=1-2( x0 -1/2)，由 f(x) 的值域，得x∈[1/2 , 1]，故

由f(x)=x0，整理得 ，

解得x0=1, x0=1/4, 因为x0∈[0,1/2)，所以x0=1/4。

评析：本题以分段落函数的形式考查函数及数列的基本概念和性质，考查分析、归纳、推理、 运算的能力。其中，分段函数的反函数的求法的考查是基础。

总之，分段函数是高考考查函数命题最重要的形式，求解这类问题的关键是在“分段函数分段求”的原则指导下，合理分类，科学解题，其实也是件不难的事情。

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