椭圆过焦点的三角形的面积（一道题探究以原点为顶点的椭圆内三角形面积问题）

之前给出过与抛物线有关的原点三角形面积的相关知识，即若过焦点的直线与抛物线交于A,B两点，△OAB的面积只与直线与对称轴夹角有关，具体的可以参考链接：

与抛物线焦点弦有关的常用结论

这个结论只适用于焦点弦，类似的在椭圆中有没有相关的结论，以下面一道题目为例，探究椭圆中原点三角形的若干性质，题目如下：

解题过程很简单，求弦长求原点到直线的距离即可，由于不是小题，判别式以及弦长可以用结论直接写出，相关链接可参考：思维训练17.圆锥曲线相对简化计算中常用的计算结论

注意到题目中给出的斜率乘积恰好能看成-b²/a²，求得的答案为1可看成与a,b有关的值，这里可能是b，也可能是a/2，也可能是ab/2，下面从一般性来看此时的面积等于多少。

若从原点出发的两条直线斜率乘积为-b²/a²，可得到m与a,b,k的对应关系，利用常规面积公式可得出以原点为顶点的三角形面积为定值ab/2

若条件相同，去掉斜率乘积，此时得到的面积不再是定值，但存在最大值，最大值也为ab/2，即取得最大值的条件恰好为斜率乘积为-b²/a²,证明过程如下：

过程中用到了均值不等式，取等时的条件恰为结论一中的斜率关系，在常见的椭圆内弦长题目中，经常遇到直线与椭圆交于P,Q两点，且OP⊥OQ,那么在这个特殊条件下能得到面积的最大值和最小值，最大值依旧满足结论二中的条件，求最小值时当然也可以利用结论二中带入的方法，但此时计算过于复杂，OP，OQ可看做极径且P,Q之间存在对应的角度关系，因此可使用极坐标方程来解，过程如下：

以上三个结论对应以原点为顶点，连接直线与椭圆两个交点所形成的三角形面积的相关结论，这种题目在上次推送的练习题中有类似的题目，如下：

近期整理了不少有价值的题目，后续也会陆续给出，近期有人问了一个问题，即怎么看待导数大题中的上帝视角解法，之所以出现上帝视角，一方面是出题人和解题人的信息不对称，另一方面也说明了题目出的并不是太好，但也侧面反映了此类问题的一些特征，即我们做题人在解题之前能否看出题目存在上帝视角？近期会整理对应的专题。