数学导数基本公式笔记（数学笔记-同济第七版高数）

1、什么是隐函数？

能直接表示成y=f(x)这种形式的为隐函数，无法将x表达成y的函数但是又有x和y关系的函数为隐函数，例如：e^(x y)=x^2 y 1这种式子很难将y解出来。

2、如何求导？

如果F(x,y)确定，即x和y的关系确定，那么求dy/dx时，将y看成f(x)，y求导后变为dy/dx即可

例1：e^(x y)=x^2 y 1确定y为x的函数，求dy/dx

方程两边对x求导：

d(e^(x y))/dx=d(x^2 y 1)/dx

e^(x y)*(1 dy/dx)=2x dy/dx

(dy/dx)(e^(x y)-1)=2x-e^(x y)

dy/dx=[2x-e^(x y)]/[e^(x y)-1]

例2：x^y=y^x， (x>0,y>0)

ln(x^y)=ln(y^x)

ylnx=xlny

两边对x求导

d(ylnx)/dx=d(xlny)dx

dy/dx*lnx y/x=lny x/y*dy/dx

(dydx)(lnx-x/y)=lny-y/x

dy/dx=[lny-y/x]/[lnx-x/y]

例3：2^(xy) 3x=y，求y'(0), y''(0)

当x等于0时，y=1

两边对x求导

2^(xy)*ln2*[y xy']=y'（1）

x=0,y=1带入得y'(0)=ln2 3

（1）式继续对x求导

ln2[2^(xy)*ln2(y xy') 2^(xy)*(y' y' y'')]=y''

将x=0,y=0,y'(0)=ln2 3带入得

y''(0)=(3ln2 6)ln2

1、参数方程确定的函数：

类似于x=g(t),y=h(t),来确定y和x之间关系称为由参数方程确定的函数

2、定理

若有参数方程：x=g(t),y=h(t),其中g(t),h(t)可导，切g(t)≠0

则：dy/dx=[dy/dt]/[dx/dt]=h'(x)/g'(x)

证明：

g'(x)=lim(Δt->0)Δx/Δt≠0 => Δx=O(Δt)

dy/dx

=lim(Δx->0)(Δy/Δx)

=lim(Δx->0)[(Δy/Δt)/(Δx/Δt)]

∵ Δx=O(Δt)

∴ dy/dx

=lim(Δt->0)[(Δy/Δt)/(Δx/Δt)]

=[lim(Δt->0)(Δy/Δt)]/[lim(Δt->0)(Δx/Δt)]

=h'(x)/g'(x)

即证！

例4：x=arctant,y=ln(1 t^2),求dy/dx

dy/dx

=(dy/dt)/(dx/dt)

=(2t/(1 t^2))/(1/(1 t^2))

=2t