中考数学压轴题动点等腰三角形（最具规律性的中考数学几何压轴题）

2021年湖南岳阳中考数学的几何压轴题，是一道关于旋转变换的问题。这道题有三个小题，四个问题（也可以看作有五个问题）。虽然问题很多，但是这道题是所有中考数学解答题中，最具有规律性的。只要解决了其中两个问题，就可以通过举一反三，融会贯通，把其它的问题全部解决了。它就像一个巨大的摩天轮一样，只要您不被转晕，剩下的就只有享受其中的乐趣了。

(1)如图①，在△ABC中，∠ABC=130度，将△ABC绕点C逆时针旋转50度，得到△A’B’C’，连接BB’，求∠A’B’B的大小；

(2)如图②，在△ABC中，∠ABC=150度，AB=3，BC=5，将△ABC绕点C逆时针旋转60度得到△A’B’C’，连接BB’，以A’为圆心，A’B’长为半径作圆.

（I）猜想：直线BB’与⊙A’的位置关系，并证明你的结论；

（II）连接A’B，求线段A’B的长度；

(3)如图③，在△ABC中，∠ABC=α（90度<α<180度）,AB=m，BC=n，将△ABC绕点C逆时针旋转2β角度（0度<2β<180度）得到△A’B’C’，连接A’B和BB’，以A’为圆心，A’B’长为半径作圆. 问：角α与角β满足什么条件时，直线BB’与⊙A’相切，请说明理由，并求此条件下线段A’B的长度(结果用角α或角β的三角函数及字母m，n所组成的式子表示)

分析：五个问题中，有三个是与求证BB’与圆A的位置关系有关的，其中有两个是相切的关系。也可以说，三个问题都是求角A'B'B的大小的。另外两个都是求A'B的长度的。

解：(1)∵BC=B’C，∴∠BB’C=(180度-∠BCB’)/2=65度，

∵∠A’B’C=∠ABC=130度， ∴∠A’B’B=∠A’B’C-∠BB’C=65度.【在这里，我们就可以想象到后面两道小题中，只要这个角是直角，BB’与圆A就会形成相切的位置关系。这就是“出题人引到门口，能不能要到饭就看自己的道行了”（潮汕的一句口语的意思“娇到门楼，霸无碗暗”）】

(2)（I）BB’与⊙A相切，理由如下：

∵BC=B’C，∴∠BB’C=(180度-∠BCB’)/2=60度，

∵∠A’B’C=∠ABC=150度， ∴∠A’B’B=∠A’B’C-∠BB’C=90度.【瞧这过程，和第(1)小题的过程，几乎一模一样的，就是角度略有不同】

（II）由（I）知△BB’C是等边三角形，BB’=BC=5,

又A’B’=AB=3,在Rt△A’B’B中，A’B=根号(AB^2 BB'^2)=根号34.【第(3)小题还会再求一次A'B的长，方法略有不同。】

(3)当角α与角β互补时，BB’与⊙A’相切. 理由如下：

∵BC=B’C，∴∠BB’C=(180度-∠BCB’)/2=90度-β，

∵∠A’B’C=∠ABC=α，∴∠A’B’B=∠A’B’C-∠BB’C=α β-90度.

当α β=180度，即角α与角β互补时，∠A’B’B=90度，∴BB’与⊙A’相切.【对比(1)和(2)（II）,出题人你确定自己不是来送分的吗？】

过C作CD⊥BB’于点D，则BB’=2B’D=2B’Csin∠BB’C=2ncosβ, 【这里运用了等腰三角形BB'C的底边BB'“三线合一”的性质。同时运用了三角函数公式：sin(90度-β)=cosβ，即正弦等于余角的余弦】

又A’B’=AB=m，在Rt△A’B’B中，A’B=根号(A’B'^2 BB‘^2)=根号(m^2 4n^2(cosβ)^2).

您见过这样送分的中考数学几何压轴题吗？这回就被您撞上了。看完一键三连，点赞、收藏、推荐、转发、关注，祝您或您的家人朋友中考都遇到这样的几何压轴题。