代数学的基本工具（漫谈代数的威力）

开场故事：波斯国王的难题

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国王给第三个外国人奖赏最多，其次是第二个外国人，用算术方法解算的外国人得到的奖赏最少。

国王笑着说：“我这是按解算方法好不好来发奖的，你们不会有意见吧？”

故事到此结束。

作者简介：李毓佩，1938年生于山东，首都师范大学数学系教授。

开场故事给我们一个启示，代数比算术抽象，具有普遍性和一般性以及更广泛的适用性，因为揭示了研究对象的关系和规律，从而蕴藏着巨大的威力。

代数ABC

算术是小学数学的重要内容，进入中学阶段后就要学习代数了。让我们从浅入深，通过几道例题来认识一下代数的威力。

先看一个入门的基础题目：(a b)(c d)=？

小学生还不习惯字母代替数，那我们就用数形结合的方法来寻求答案。请看下图：

利用几何图形的直观，我们可以方便地写出答案：

(a b)(c d)=ac ad bc bd

而且，我们还得到了一种计算乘法的方法——十字交叉法。

举例如下：

如图所示：47×34=1598

(40 7)(30 4)

=40×30 40×4 30×7 4×7

=1200 160 210 28

=1598

推导乘法公式

我们把刚才的题目变一下，看看能得出什么结果。

用几何法证明代数恒等式

【例题1】(a b)(a b)=(a b)²=？

如图所示，大正方形面积=(a b)²，中正方形面积=a²，小正方形面积=b²，两个矩形面积相等，都等于ab。

(a b)²=a² ab ba b²

=a² 2ab b²

再变化一下题目，看看能够得到什么恒等式。

【例题2】(a-b)(a-b)=(a-b)²=？

如图所示，令正方形PBCD边长为a，QB=BL=b，正方形HCEF的面积恰好等于(a-b)²，正方形QBFL=b²。

由图可知，矩形PBHL=矩形QBED=ab，

可得

(a-b)²=a²-ab-ab b²

=a²-2ab b²

再把题目变化一下，看看能够得到什么恒等式。

【例题3】(a b)(a-b)=？

古希腊数学家用线段长度来表示数，由于缺乏适当的代数符号，为了进行代数运算，设计出了巧妙的几何法证明代数恒等式。在《几何原本》前几卷可以零星地见到这种形式。证明方法是毕达哥拉斯的“剖分法”。下面请看《几何原本》第二卷命题5：

如果一线段既被等分又被不等分，则以不等分为边的矩形加上以两分点之间的线段为边的正方形等于以这一线段的一半为边的正方形。

如果AB是给定的线段，P为等分点，Q为不等分点，命题5可以写作：

AQ·QB PQ²=PB²

如果令AQ=2a，QB=2b，则可导出代数恒等式

(a b)²=4ab (a-b)²

如果令AB=2a，PQ=b，则可导出代数恒等式

(a b)(a-b)=a²-b²

请看下图，PB=a，PQ=b，则用数字1～5标注的图形面积有以下关系：

2 3 4 5=a²

4=b²

2 3 5=a²-b²

1=3 5

1 2=2 3 5=(a b)(a-b)

下面用剖分法证明命题5：

证明1

证明2

总结

(a±b)²=a²±2ab b²这一类的乘法公式，不论a和b取什么值，等式都成立，所以又称为代数恒等式。从左到右，称为整式的乘法；从右到左，称为因式分解。

代数恒等式有很多，再介绍一些，供大家参考。

(a² b²)(c² d²)=(ac bd)² (ad－bc)²

上面这个恒等式告诉我们：如果两个数中每一个数又都是两个平方数之和，则乘积也是两个平方数之和。

如果令恒等式中的某一个字母为1，可以得到一个简化的恒等式。

举个例子，(n 1)²=n² 2n 1

中国古代数学家杨辉用代数恒等式解决应用问题。

在南宋数学家杨辉的《田亩比类乘除算法》有一道题“直田积八百六十四,只云阔不及长一十二步，问长与阔各几步？”

意思是：一块方田面积为864平方步，只知道宽比长要短12步，问长方形的长和宽各为多少步？

图片来自《中国代数故事》

请看上图，设长方形的长为a，宽为b，图中大正方形边长为a＋b，正中的小正方形边长为a－b，根据代数恒等式(a b)²=4ab (a-b)²可得

大正方形面积=4×864 12×12

=3456 144

=3600

于是得到a＋b=60，求出a=36，b=24(小学数学的和差问题)

杨辉解法的代数原理是：

(a-b)² 4ab=a²-2ab b² 4ab=a² 2ab b²=（a b)²

由上图可得到一个速算法。举个例子，19×19

=(10 9)²

=4·10·9 (10－9)²

=361

解一元二次方程

把完全平方公式的字母组合a和b换成x和a，就能得到下面的恒等式：

(x a)²=x² 2ax a²

几何意义如下图所示：

解一元二次方程举例：

x² 6x=7

令a=3可得

(x 3)²=x² 6x 9

把原方程改写为

(x 3)²=16

可知x 3等于4或者－4，

x₁=1，x₂=－7

任何一元二次方程都能用类似的配方法解开。

科学尚未普及，媒体还需努力。感谢阅读，再见。

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