素数定理初等证明是什么(用最简单的方式解释黎曼猜想)

素数定理初等证明是什么(用最简单的方式解释黎曼猜想)(1)

要想理解黎曼猜想,我们首先要了解质数定理(素数定理)。在数学中,素数定理(PNT)描述了正整数中素数的渐近分布。它通过精确量化质数出现的速率,形成了数越大,质数就越不常见这一直观观点。该定理在1896年由雅克·阿达马等人用黎曼zeta函数( ζ函数)证明。

小于给定数的质数有多少个?

取一个正整数,我以28为例。什么数能整除它?答案是:1、2、4、7、14、28。这些是28的因数(因子)。我们说,28有6个因数。不难得出,每个数都有1和自身作为因数,除1和自身以外的因子叫作真因数,如28的真因数是2、4、7、14。而29没有真因数。质数就是那些没有真因数的正整数。

下面是1到1000的质数:

素数定理初等证明是什么(用最简单的方式解释黎曼猜想)(2)

如你所见,总共有168个。如果你仔细观察这个质数列表,你会发现它们出现的频率越来越低。在1到100之间有25个质数;401到500之间有17个;901到1000只有14个。在任何由100个整数组成的区间中,质数的数量似乎都在减少。如果我们列出所有小于100万的质数,你会看到在最后的100个整数中(即从999901到100万)只有8个质数。如果继续扩大到1万亿,那么最后100整数中只有4个质数(它们是:999,999,999,937;999,999,999,959;999,999,999,961和 999,999,999,989)。

质数有多少个?

问题自然就出现了,如果继续下去,最终会不会达到一个点,超过这个点就没有质数了,那么就会存在一个最大质数?

欧几里得在公元前300年左右找到了这个问题的答案。没有最大的质数。无论你找到多大的质数,总是能找到更大的质数。有很多方法能证明“质数有无穷多个”,网上都能找到,不在这里给出。

接下来数学家们自然好奇的是:我们能确定质数的(增长)规律(分布)吗?小于100的质数有25个,而小于1000的质数是168(而不是250),质数不是均匀分布的,而是越来越“稀薄”。但为什么是168年?为什么不是158或178,或其他数字?有没有一个规则,一个公式,告诉我小于给定整数的质数有多少个?

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  • 表1,素数计数函数

像上表这样的两列是一种函数的表示。

“函数”是数学中最重要的概念之一。函数的主要思想是,根据某种固定的规则或过程,某个数字(右边一列中的数字)取决于另一个数字(左边一列中的数字)。在上表中,规则是:“数到左边一列的数字为止,共有多少个素数。”

另一种说法是:函数是一种转化方式(数学家说“映射”),即把一个数字变成另一个数字。上表中的函数将数字1000转化为数字168——同样,通过某种确定的规则。

重要的函数都是有名称的,上表表示的函数是“素数计数函数”,符号为 π (N)。这里的π是欧拉首先使用的,与圆周率毫无关系。

所以π (N)被定义为到N为止的质数的个数。回到我们的主要问题:是否有一些规则,一些简洁的公式,可以让我们计算出π(N)?

下面我们用N/π(N),得到下表:

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  • 表2

仔细表2:右边一列,似乎是一个以7为“公差”的等差数列。这可能不会让你觉得很奇妙,但当一个数学家看到这样的表时,他的脑海中就会闪现出一个特别的词。让我解释一下。

有一类函数在数学中非常重要,那就是指数函数。你很可能对他们有所了解。“指数”这个词已经从数学中“跑到”了日常语言中。我们都希望我们的财富呈指数增长,也就是说,越来越快。

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  • 表3,指数函数的一个例子。

表三是一个指数函数,自变量通过“加法”增加,函数值则以“乘法”增加。在众多指数函数中,数学家最喜欢的一个可能是:

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  • 表4

我不能在不涉及微积分的情况下解释e的重要性,但我的目的是用最简单的方式来解释黎曼猜想。因此,我只能告诉你e是一个非常非常重要的数字,没有其他指数函数能比得上这个函数。

相反的情况呢?假设有这么一个函数,它的规则是:当参数(自变量)通过乘法增加时,函数值通过加法增加,这是什么函数呢?

这里我们已经进入了逆函数的领域。数学家们非常热衷于求逆——把它们颠倒过来。如果y是8乘以x,x怎么用y表示?除法是乘法的逆运算。一种叫作“平方”的运算,就是把一个数和自己相乘,它的逆运算是什么?如果y = x^2,用y表示,x等于多少?它是y的平方根。如果你懂一点微积分,你就会知道有一个过程叫作“微分”,你可以用它来把一个函数f转换成另一个函数g,它会告诉你f在任意参数下的瞬时变化率。

在与黎曼假设相关的数学中,对数函数无处不在。我在后面的文章详细介绍。现在,你只要知道它是一个非常重要的函数,并且如果y = e^x,则x = logy。

我将直接切入正题,向你们展示对数函数。当将函数表示为表格的形式时,我可以选择参数和小数点的位数。

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  • 表5,对数函数

下面的表述似乎是合理的:N / π (N)接近于log N;N越大,越接近。以一般的代数规则表述是:

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当然,我还没有证明这个(结论),我只是说它是可能的。这是一个非常重要的结论,被称为“素数定理(the Prime Number Theorem,PNT)”

最后是PNT的两个结果,假设它是真的。

  • N是素数的概率是:

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  • 第n个素数是:

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接下来,我们将继续深入……

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