根号二的二次方大约等于多少 根号2的无限个根号2次方到底等于几

今天我们来聊点轻松的，探讨一下指数幂的定义和运算法则。

对于指数运算：a^b=N；a称为底数，a＞0且a≠1；N称为幂，N＞0；b称为指数。

当n∈N*，幂运算a^n表示n个a连乘。

a^n=a×a×…×a【n个a】

这个定义大家是非常好理解的，接下来我们就从这个指数运算的最基本定义出发，推出整个指数运算的运算法则，让大家感受一下底层逻辑的推理过程，数学体系是如何一步步建立起来的。

①(a^m)×(a^n)=a^(m n)

证明：(a^m)×(a^n)

=(a×a×…×a)【m个a】

×(a×a×…×a)【n个a】

=a×a×…×a【(m n)个a】

=a^(m n)，证毕！

②(a^m)/(a^n)=a^(m-n)

证明：(a^n)×[a^(m-n)]

=a^[n (m-n)]=a^m

(a^m)/(a^n)=a^(m-n)，证毕！

以上两个运算法则同样很好理解，利用这个运算法则我们就可以解释0指数幂和负指数幂为什么要这样去定义。

0指数幂和负指数幂，不像正整数幂那样具有很容易理解的实际意义。之所以对它们进行定义，完全是为了让0指数幂和负指数幂的运算符合正整数指数幂的运算法则。我们可以把这看成一种简单的数域延拓。

③a^0=1

证明：a^0=a^(n-n)

=(a^n)/(a^n)=1，证毕！

④a^(-n)=1/(a^n)

证明：a^(-n)=a^(0-n)

=(a^0)/(a^n)=1/(a^n)，证毕！

接下来我们来推导指数幂的指数幂：(a^m)^n

⑤(a^m)^n=a^(m×n)

证明：(a^m)^n

=(a^m)×(a^m)×…×(a^m)

【n个(a^m)】

=a^(m m … m)【n个m】

=a^(m×n)，证毕！

进一步还可以得到：

⑥(a^m)^n=a^(m×n)

=a^(n×m)=(a^n)^m

⑦(1/a)^n=[a^(-1)]^n

=(a^n)^(-1)=1/(a^n)

这里特别强调，对于(a^m)^n，这里的小括号非常重要不能省略。

如果不打括号的话，a^m^n代表的运算是a^(m^n)。

例如：

(2^3)^4=2^(3×4)=2^12

2^3^4=2^(3^4)=2^81

有了以上公式，我们就可以来定义分数指数幂了。和0指数幂、负指数幂一样，定义分数指数幂也是为了让分数指数幂的运算符合正整数指数幂的运算法则。

⑧a^(1/n)=(n)√a

证明：

[a^(1/n)]^n=a^[(1/n)×n]=a^1=a

a^(1/n)=(n)√a，证毕！

⑨a^(m/n)=(n)√(a^m)

证明：a^(m/n)=a^[m×(1/n)]

=(a^m)^(1/n)=(n)√(a^m)，证毕！

⑩a^[-(m/n)]=1/[(n)√(a^m)]

证明：a^[-(m/n)]=1/a^(m/n)

=1/[(n)√(a^m)]，证毕！

好了，到这里，关于指数运算的10条基本运算法则全部严格证明完毕，大家可以认真体会整个证明过程的逻辑顺序。接下来我们来看一个经典例子。

判断：二次根号2和三次根号3的大小关系

解：

√2=2^(1/2)=2^(3/6)

=(6)√(2^3)=(6)√8

(3)√3=3^(1/3)=3^(2/6)

=(6)√(3^2)=(6)√9

(6)√8＜(6)√9

√2＜(3)√3

用计算器验证一下：

√2=1.414……

(3)√3=1.442……

另外还有2条运算法则也很重要。

①(a×b)^n=(a^n)×(b^n)

证明：(a×b)^n

=(a×b)×(a×b)×…×(a×b)

【n个(a×b)】

=(a×a×…×a)【n个a】

×(b×b×…×b)【n个b】

=(a^n)×(b^n)，证毕！

②(a/b)^n=(a^n)/(b^n)

证明：(a/b)^n=[a×(1/b)]^n

=(a^n)×[(1/b)^n]

=(a^n)×[1/(b^n)]

=(a^n)/(b^n)

好了，关于指数的所有运算法则就全部介绍给大家了。今天不谈容易引起争议的问题，只讲最简单直接的硬科普内容。每个运算法则都按照严密的逻辑顺序严格证明，欢迎大家收藏。如果觉得有帮助的话，请点赞评论收藏转发支持一下作者，非常感谢大家的阅读。

最后，我们来讨论一道非常经典的指数问题。

求解：√2^√2^√2^√2^…

解：令x=√2^√2^√2^√2^…

=√2^(√2^√2^√2^…)=√2^x

对于方程x=√2^x

容易观察到x=2和x=4都是这个方程的根

√2^2=√2×√2=2

√2^4=√2^(2×2)=(√2^2)^2=2^2=4

根据函数图像容易判断

一次函数y=x和指数函数y=√2^x最多只有两个交点

所以x=2或x=4就是方程x=√2^x的两根

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注意到

√2^√2＜√2^2=2

√2^√2^√2=√2^(√2^√2)＜√2^2=2

…………

x=√2^√2^√2^√2^…≤2

所以x=4＞2舍掉

x=√2^√2^√2^√2^…=2

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最后再用计算器验证一下：

√2^√2=1.632…

√2^√2^√2=1.760…

√2^√2^√2^√2=1.840…

√2^√2^√2^√2^√2=1.892…

√2^√2^√2^√2^√2^√2=1.926…

…………

√2^√2^√2^√2^…=2

很有意思的一点是，对于√x^√x^√x^√x^…，只要x＞2，其极限值都是趋近于 ∞，有兴趣的小伙伴可以自行验证一下。

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