线性代数及行列式的基本应用（线性代数知识点摘抄）

一、元素

在数学中，把考察的对象，叫做元素。

例如，将1、2、3组成三位数，在没有重复数字的情况下，能组成多少个？其中的1、2、3就叫做元素。

二、全排列

把n个不同的元素排成一列，叫做这n个元素的全排列（也简称排列）。n个不同元素的所有排列的种数，通常用表示。

从n个元素中任取一个放在第一个位置上，有n种取法；

又从剩下的n-1个元素中任取一个放在第二个位置上，有n-1种取法；

这样继续下去，直到最后只剩下一个元素放在第n个位置上，只有1种取法。于是

行列式完全展开后的各项，对应其列号的全排列。

三、逆序数

对于n个不同的元素，我们规定各元素之间有一个标准次序（例如n个不同的自然数，可规定由小到大为标准次序），于是在这n个元素的任一排列中，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说有1个逆序。一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数。

逆序数为奇数的排列叫做奇排列，逆序数为偶数的排列叫做偶排列。

计算排列的逆序数的方法：

不失一般性，不妨设n个元素为1至n这n个自然数，并规定由小到大为标准次序，设

为这n个自然数的一个排列，考虑元素，如果比大且排在前面的元素有个，就说这个元素的逆序数是。全体元素的逆序之和

即是这个排列的逆序数。

例 求排列32514的逆序数。

解 在排列32514中，

3排在首位，逆序数总为0；

2的前面比2大的数有一个（3），故逆序数为1；

5是最大数，逆序数总为0；

1的前面比1大的数有三个（3、2、5）。故逆序数为3；

4的前面比4大的数有一个（5），故逆序数为1；

于是排列的逆序数为

四、行列式定义

为了作出n阶行列式的定义，我们先研究三阶行列式的结构。三阶行列式定义为

容易看出：

（1）上式右端的每一项都恰是三个元素的乘积，这三个元素位于不同的行、不同的列。因此，上式右端的任意项除正负号外可以写成。这里第一个下标（称行标）排成标准排列123，而第二个下标（称列标）排成，它是1、2、3三个数的某个排列，这样的排列共有6种，对应上式右端共含6项。

（2）各项的正负号与列标的排列对照：

带正号的三项列标排列是：123，231，312；

带负号的三项列标排列是：132，213，321.

经计算可知前三个排列都是偶排列，而后三个排列都是奇排列。因此各项所带的正负号可以表示为，其中t为列标排列的逆序数。

总之，三阶行列式可以写成

仿照上式，我们可以把行列式推广到一般情形。

定义 设有个数，排成n列的表

作出表中位于不同行不同列的n个数的乘积，并冠以符号，得到形如

的项，其中为自然数1，2，...，n的一个排列，t为这个排列的逆序数，由于这样的排列共有n!个，因而形如上式的项共有n!项。所有这n!项的代数和

称为n阶行列式，记作

简记作。数称为行列式的元素。

按此定义的二阶、三阶行列式，与用对角线法则定义的二阶、三阶行式，显然是一致的。当n=1时，，注意不要与绝对值记号相混淆。