中学数学根式方程专题（方程应用中根的取舍）

在学习用一元二次方程解应用题时，由于所得的根一般都有两个，虽然都是方程的根，但不一定都符合题意，所以在求出方程的根后，要注意检验是否符合实际情况，然后根据实际情况再进行取舍.

例1 （2018•威海二模）某百货商场服装专柜在销售中发现“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元. 为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施，增加销售量，减少库存. 经市场调查发现：如果每件童装每降价4元，那么平均每天就可多售出8件. 要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？

分析：根据“每降价4元，每天就可多售出8件”可得出销售量与价格的关系.若设每件降价x元，则每天的销售量可增加2x件，再由赢利1200元列方程即可.

解：设每件童装应降价x元，则每天的销售量增加2x件，依题意可得方程

（20＋2x)(40－x）＝1200，

解得x₁＝10，x₂＝20.

但由于要减少库存，故应增加销量，所以降价应最多，因此，x＝10应舍去.

所以每件童装应降价20元.

点评：在某些运用一元二次方程求解的“每...每...”型应用题中，命题者会设置诸如“减少库存”、“让利于消费者”等附加条件，我们在审题时注意到这些条件，在求出方程的根后，依据这些条件对方程的根进行取舍.

例2 （2017•盐城）某商店在2014年至2016年期间销售一种礼盒．2014年，该商店用3500元购进了这种礼盒并且全部售完；2016年，这种礼盒的进价比2014年下降了11元/盒，该商店用2400元购进了与2014年相同数量的礼盒也全部售完，礼盒的售价均为60元/盒．

（1）2014年这种礼盒的进价是多少元/盒？

（2）若该商店每年销售这种礼盒所获利润的年增长率相同，问年增长率是多少？

分析：（1）设2014年这种礼盒的进价为x元/盒，则2016年这种礼盒的进价为（x﹣11）元/盒，根据2014年花3500元与2016年花2400元购进的礼盒数量相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论.

（2）设年增长率为a，根据“购进的数量=总价÷单价”求出2014年的购进数量，再根据“2014年销售利润×（1 a）²=2016年销售利润”可得出关于a的一元二次方程，解之即可得出结论．

解：（1）设2014年这种礼盒的进价为x元/盒，则2016年这种礼盒的进价为（x﹣11）元/盒，依题意得方程

解得x=35.

经检验，x=35是原方程的解．

所以2014年这种礼盒的进价是35元/盒.

（2）设年增长率为a，2014年的销售数量为3500÷35=100（盒），依题意可得方程:

（60﹣35）×100（1 a）²=（60﹣35 11）×100，

解得a₁=0.2=20%，a₂=﹣2.2．

但所获利润的增长率不能为负数，

所以x＝－2.2应舍去，

所以销售这种礼盒所获利润的年增长率为20%．

点评：某些实际应用问题中方程的根具有特定的取值范围，有时其值不能大于1，比如成本的降低率；有时其值不能为负数，比如本题的年平均增长率等，这种不符合生活实际情况的方程的根应舍去.

例3 （2018•南京金陵中学二模）如图，要建一个面积为130m²的仓库，仓库的一边靠墙（墙长16米），并在与墙平行的一边开一道1米宽的门．现有能围成32米长的木板，求仓库的长和宽．

分析：由于仓库的一边靠墙，并在与墙平行的一边开一道1m宽的门，所以仓库宽的2倍＋仓库的长－1m＝32m.

解：设仓库的宽为xm，则仓库的长为（33－2x）m，依题意可得方程：

x（33－2x）＝130，

解得x₁＝10，x₂＝6.5.

经检验，x₁＝10，x₂＝6.5.

当x＝10时，33－2x＝13；

当x＝6.5时，33－2x＝20＞16.

因为墙长16m，

所以x＝6.5不符合题意，应舍去.

所以仓库的长为13m，宽为10m.

点评：一些实际问题中会隐含着一些条件，比如本题就隐含着“仓库的长度不能大于墙的长度”，因此在审题时应仔细挖掘出这些隐含的条件并据此进行验根，避免发生错误.

《中学生数理化》（初中版）中考版2018年第9期

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