中考动点最值解法(以静制动让动点先不要动)

所谓"动点型问题"是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目。 这类试题以运动的点、线段、变化的角、图形的面积为基本条件,给出一个或多个变量,要求确定变量与其他量之间的关系,或变量在一定条件为定值时,进行相关的几何计算和综合解答,解答这类题目,一般要根据点的运动和图形的变化过程,对其不同情况进行分类求解。下文主要针对多动点问题进行分析讲解。

中考动点最值解法(以静制动让动点先不要动)(1)

解题策略

解决此类与运动、变化有关的问题,重在运动中分析,变化中求解。

首先,要把握运动规律,先固定一动点,然后寻求运动中的特殊位置,在"动"中求"静",在"静"中探求"动"的一般规律。

其次,通过探索、归纳、猜想,获得图形在运动过程中是否保留或具有某种性质,要用运动的眼光观察出各种可能的情况分类讨论,较为精确地将每种情况一一呈现出来。

再次,要学会将动态问题静态化,即将动态情境化为几个静态的情境,从中寻找两个变量间的关系,用相关字母去表示几何图形中的长度、点的坐标等,很多情况下是与三角形的相似和勾股定理等联系在一起的,在整个解题过程中,要深刻理解分类讨论、数形结合、化归、相似等数学思想。

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经典考题

1.如图1,在锐角△ABC中,AB=5,AC=4√2,∠ACB=45°

(1)计算:求BC的长;

(2)操作:将图1中的△ABC绕点B按逆时针方向旋转,得到△A1BC1.如图2,当点C1在线段CA的延长线上时,求∠CC1A1的度数;

(3)探究:如图3,点E为线段AB中点,点P是线段AC上的动点,在△ABC绕点B按逆时针方向旋转所得到的△A1BC1中,点P的对应点是点P1,求线段EP1长度的最大值与最小值.

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【解析】(1)如图1中,作AH⊥BC于H.解直角三角形求出AH,CH,BH即可解决问题.BC=BH CH=3 4=7.

(2)利用旋转的性质解决问题即可求∠CC1A=90°.

(3)本题我们发现有两个运动状态:①旋转运动:△ABC绕着点B旋转;②点P在线段AC上运动,旋转后的对应点为P'

逐步分析,以静制动,我们先让点P安静点不要乱动!

然后可知在△ABC旋转的过程中,点P的轨迹是以B为圆心,BP长为半径的一个圆(如图1).

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①如图2,过点B作BD⊥AC,D为垂足,

∵△ABC为锐角三角形,∴点D在线段AC上,

在Rt△BCD中,BD=BC×sin45°=7√2/2,

此时容易分析出,当P在AC上运动,BP与AC垂直的时候,△ABC绕点B旋转,使点P的对应点P1在线段AB上时,EP1最小,最小值为:EP1=BP1﹣BE=BD﹣BE=7√2/2﹣5/2;

②当P在AC上运动至点C,△ABC绕点B旋转,使点P的对应点P1在线段AB的延长线上时,EP1最大,最大值为:EP1=BC BE=5/2 7=19/2.

2.如图,菱形ABCD中,∠A=60°,AB=3,⊙A、⊙B的半径分别为2和1,P、E、F分别是边CD、⊙A和⊙B上的动点,则PE PF的最小值是______.

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【分析】本题更厉害,直接三个动点,这题虽然动点较多,但是仍然可延续上面一题的思想,"先固定,后放开"

本题我们先固定点P,那么当点P固定时,PE PF的最小值自然是PE、PF同时取得最小时的情况,此时PF的最小值为PB-BF,PE的最小值为PA-AE,所以PE PF的最小值为PB PA-3

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此时,点E、F两个动点转化到A、B两个定点上去了,问题就变为了求"PA PB"将军饮马问题,通过这种方式从而求得解题思路!

【解答】:作A点关于直线DC的对称点A′,连接BD,DA′,

可得A′A⊥DC,则∠BAA′=90°,故∠A′=30°,

则∠ABA′=60°,∠ADN=∠A′DN=60°,

∵AB=AD,∠BAD=60°,

∴△ABD是等边三角形,∴∠ADB=60°,

∴∠ADB ∠ADA′=180°,

∴A′,D,B在一条直线上,

由题意可得出:此时P与D重合,E点在AD上,F在BD上,此时PE PF最小,

∵菱形ABCD中,∠A=60°,

∴AB=AD,则△ABD是等边三角形,∴BD=AB=AD=3,

∵⊙A、⊙B的半径分别为2和1,∴PE=1,DF=2,

∴PE PF的最小值是3.

故答案为:3.

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变式.如图,菱形ABCD中,∠A=60°,AB=6,⊙A、⊙B的半径分别为4和2,P、E、F分别是边CD、⊙A和⊙B上的动点,则PE PF的最大值是(  )

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A.6√3 12 B.6√3 16 C.18 D.6

【分析】如图,连接PB,延长PB交⊙B于F,连接PA交⊙A于E,要求PE PF的最大值,可以转化为求PA PB的最大值.通过寻找特殊点,发现当点P与点C重合时,PA、PB同时取得最大值,此时PA PB的值最大.

【解答】:如图,连接PB,延长PB交⊙B于F,连接PA交⊙A于E,

要求PE PF的最大值,可以转化为求PA PB的最大值.

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∵点P在线段CD上,

∴①当点P与点C重合时,PA最大,(因为∠ACD<∠ADC,所以,点C是"小角"点);

②当点P与点C或者点D重合时,PB最大.(因为∠ACD=∠ADC,所以,点C、D均是"小角"点).所以,根据①、②可知,当点P与点C重合时,PA、PB同时取得最大值,此时PA PB的值最大,

在△ACD中,∵∠ADC=120°,AD=DC=6,

∴AC=2×6×√3/2=6√3,

∴PE PF的最大值=AC AE BC BF=6√3 12.

故选:A.

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3.在矩形ABCD中,AB=4,AD=3,先将纸片折叠,点D的对应点记为点P,折痕为EF(点E、F是折痕与矩形的边的交点),再将纸片还原.

(1)若点P落在矩形ABCD的边AB上(如图1).

①当点P与点A重合时,∠DEF=_______°,当点E与点A重合时,∠DEF=_______°.

②当点E在AB上时,点F在DC上时(如图2),若AP=7/2,求四边形EPFD的周长.

(2)若点F与点C重合,点E在AD上,线段BA与线段FP交于点M(如图3),当AM=DE时,请求出线段AE的长度.

(3)若点P落在矩形的内部(如图4),且点E、F分别在AD、DC边上,请直接写出AP的最小值.

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【解析】(1)①当点P与点A重合时,EF是AD的中垂线,可得结论;当点E与点A重合时,如图2,则EF平分∠DAB, 故答案为90,45;

②如图3中,证明△DOF≌△POE(ASA)得DF=PE,根据一组对边平行且相等得:四边形DEPF是平行四边形,加上对角线互相垂直可得▱DEPF为菱形,当AP=7/2时,设菱形的边长为x,根据勾股定理列方程得:32 (7/2﹣x)2=x2,求出x=85/28,所以菱形的周长=85/7;

(2)如图3中,连接EM,设AE=x.

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由折叠知PE=DE,∠CDB=∠EPM=90°,CD=CP=4,

∵AM=DE∠A=90° EM=EM,

∴Rt△AEM≌Rt△PME(HL),∴AE=PM=x,

∴CM=4﹣x,BM=AB﹣AM=AB﹣DE=4﹣(3﹣x)=1 x,

在Rt△BCM中,BM² BC²=CM²,

∴3² (1 x)²=(4﹣x)²,

解得,x=0.6.∴AE=0.6.

(3)在本问中,存在E、F两个动点,两个动点一起运动时,研究问题相对较麻烦,所以常常先固定一个动点,然后在该点固定的背景下来研究另外一个动点,依次达到"减小思维量、简化问题"的功能!

比如可先固定点E不动,让点F先动,于是可知,点P的轨迹在以点E为圆心,ED为半径的圆上运动,发现随着点F越靠近点C,AP越小,所以可知,当点F运动到与点C重合时,AP最小。

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当点F与点C重合时,本题就变得"常规了",此时点P在以C(F)为圆心,CD(即4)为半径的圆上运动,所以当A、P、C共线时,AP最小,此时AP=5-4=1.

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初中阶段的同学,可以从三角形三边关系去分析,也可以作图操作探究出点F在点C位置时点P靠点A最近. 因此有如此求解过程。

如图4﹣1中,连接PF,AP,AC.

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∵PA≥FA﹣FP,FD=FP,

∴PA≥FA﹣FD,此时PA的最小值=FA﹣FD,

∵(FA﹣FD)﹣(AC﹣CD)=FA﹣DF﹣AC DF CF=FA CF﹣AC>0,

∴AC﹣CD<FA﹣FD,

∴当F与C重合时,FA﹣FD的值最小,由折叠得:CD=PC=4,

由勾股定理得:AC=5,

∵PA≥AC﹣PC,

∴当P,A,C共线时,AP有最小值,∴AP=5﹣4=1,

则AP的最小值是1.

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4.如图①是一副三角板,其中∠B=∠E=90°,∠A=∠C=45°,∠F=30°,AC=EF=2.把两个三角板ABC和DEF叠放在一起(如图②),且使三角板DEF的直角顶点E与三角板ABC的斜边中点O重合,DE和OC重合.现将三角板DEF绕O点顺时针旋转(旋转角α满足条件:0°<α<90°),四边形BGEH是旋转过程中两三角板的重叠部分(如图③).

(1)当旋转角度为45°时,EG和AB之间的数量关系为_______.

(2)当DF经过三角板ABC的顶点B,求旋转角α的度数.

(3)在三角板DEF绕O点旋转的过程中,在DF上是否存在一点P,使得∠APC=90°,若存在,请利用直尺和圆规在DF上画出这个点,并说明理由,若不存在,请说明理由.

(4)在射线EF上取一点M,过M作DF的平行线交射线ED于点N(如图④),若直线MN上始终存在两个点P、Q,使得∠APC=∠AQC=90°,求EM的取值范围.

中考动点最值解法(以静制动让动点先不要动)(18)

【分析】(1)旋转角度为45°时,EG是△ABC的中位线,根据三角形的中位线定理即可得出EG和AB 之间的数量关系.

(2)当DF经过三角板ABC的顶点B,求旋转角α的度数,即求∠ECD的度数,通过作辅助线可以得到P点与B点重合,从而得到答案.

(3)实际上是圆的切线的性质及判定的运用.

(4)题意告诉我们存在的点要在AC为直径的圆上,所以MN就应该是圆的弦从而得到EM应小于AC的一半.

【解答】:(1)AB=2EG.

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(2)过点E作EP⊥DF,垂足是P,

中考动点最值解法(以静制动让动点先不要动)(20)

∵∠B=90°,∠A=∠C=45°,AC=2

∴EB=1

∵∠FED=90°,∠F=30°,EF=2

∴EP=1

∴当DF经过三角板ABC的顶点B时,点P与点B重合,

此时∠PED=30°,∠CED=60°

即旋转角α为60°;

(3)以E为圆心,EC为半径画圆,与DF相切于点P,P点即为所求的点.

中考动点最值解法(以静制动让动点先不要动)(21)

∵∠FED=90°,∠F=30°,EF=2, ∴EP=1.∴P点在⊙E上,

∵AC是⊙E直径,∴∠APC=90°;

(4)以E为圆心,EC为半径画圆.

当EM<2时,直线MN和⊙E交于P、Q两点,∠APC=∠AQC=90°.

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反思总结

“让动点先不要动”,主要出现在多重动态问题当中,体现出的是一种解题思维,即对问题逐步分析,逐步解决,然后各个击破!这种思想在生活与学习当中也可运用!也是正如华罗庚先生所言,遇到困难的问题,学会退,退到最简单的情况,以获得启发,进而找到解决问题的正确途径。

当我们上学时,在学校往往由于所学科目太多,作业太多,来不及处理学习中的问题时,可以让一些问题先安静点,先解决掉重要的、紧急的问题动起来,然后再去解决次要问题!

当工作时遇见一大堆事无法处理的时候,先抛开一些问题,先去解决重要的、较紧急的事,解决后再去解决次要的问题!人脑CPU就那么点处理量,如果顾忌的东西越多,那么往往只会得不偿失。

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