数学直线与圆的位置关系教学设计(直线和圆的位置关系)

教学反思:直线和圆的位置关系

数学直线与圆的位置关系教学设计(直线和圆的位置关系)(1)

在前面学习了点和圆的位置关系之后,研究直线和圆的位置关系,方法是类似的,即确定不同位置中各元素间的数量关系。教学设计采用常规教学,使用了一体机上的希沃白板5和班级优化大师,这几乎是常态课的标配,分别用于板书和点评。

一、课堂复盘

导入部分就是太阳在海平面升起的截图,然后将太阳和海平面分别抽象成数学中的圆和直线,提出第一个问题,直线和圆总共有几种位置关系?依据是什么?

学生在课堂上表现基本在意料之中,回答有三种,以公共点的个数来判断,这符合提问初衷,在引入阶段,直观认知的确是以公共点的个数来判断的,如下图:

数学直线与圆的位置关系教学设计(直线和圆的位置关系)(2)

那么,直线和圆的位置关系能否用数量关系来判断呢?这需要分解整个关系中的各元素,对于圆来讲,圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小,因此它自身包含两个元素:圆心和半径,再加上直线,三个元素。

在引例一中,直线是固定的,半径是固定的,变化的只是圆心的位置,在这种情况下,我们需要关注的是圆心到直线的距离,即d的值;

三种结果:直线与圆相交时,d<r,直线与圆相切时,d=r,直线也圆相离时,d>r,反之亦然。

然后给出引例二,如下图:

数学直线与圆的位置关系教学设计(直线和圆的位置关系)(3)

现在动的是直线,圆心和半径相对确定。但是在拖动直线的过程中,除了提问直线与圆的位置关系之外,还多问了几个问题。

第一个问题:当直线从与圆O相离的位置平移,然后与圆相切,再与圆相交,继续平移,出现第二次相切,第二次相离,这是为什么?

很快便有学生回答,因为圆是轴对称图形,这个认知大体是正确的,经过圆心的任何一条直线都是圆的对称轴,既然是平移,那么经过圆心且平行于这条直线的直线,就是圆的一条对称轴,在对称轴的一边发生过的事情,在另一边同样会发生,所以会出现第二次相切和第二次相离,更进一步,直线与圆相交后,弦的长度也有同样的规律。

第二个问题:改变直线的倾斜角度,再次重复上述过程,依然会有同样的结论,又是为什么?

沉默片刻之后,有学生回答,因为经过圆心的任何一条直线是圆的对称轴,很精彩,圆绕着圆心旋转任意角度,都能和自己重合。

这两个小问题,说明学生对于圆的基本概念掌握还是合格的。

引例三,圆心和直线确定下来,改变圆的半径,再次体会三种不同的位置关系,如下图:

数学直线与圆的位置关系教学设计(直线和圆的位置关系)(4)

三个引例,分别确定三个元素(圆心、直线、半径)中的两个,达到动态的效果,这也是未来和圆有关的压轴题经常用到的思路,埋下这个伏笔,以后好作文章。

新增一个环节是作圆的一条切线,因为在练习本上画切线,内涵是十分丰富的,尽管在后续章节还要深入研究切线,但这节课不妨作个尝试,或铺垫。

数学直线与圆的位置关系教学设计(直线和圆的位置关系)(5)

经过圆外一点作切线,在没有学习切线判定定理之前,本节课只需要根据定义作图,提示使用工具为直尺。

很快,学生便找到了方法,如下图:

数学直线与圆的位置关系教学设计(直线和圆的位置关系)(6)

让直尺经过点P,然后“靠”在圆上,作出一条圆的切线,至于为什么作出的直线是切线,留待下节课处理,会作图是第一步,又多问了一句,可以作几条?

很快便有了第二条,结论也得到了,经过圆外一点作切线,可以作两条;

经过圆上一点呢?是否也和刚才一样直尺就足够?

数学直线与圆的位置关系教学设计(直线和圆的位置关系)(7)

数学直线与圆的位置关系教学设计(直线和圆的位置关系)(8)

数学直线与圆的位置关系教学设计(直线和圆的位置关系)(9)

仔细看,这三次摆放直尺的位置都不同,然而却“看上去像”切线,如果此时提问,经过圆上一点可以作几条切线,相信有一部分学生真的认为可以作无数条。

然而思考之后,真相出来了。

我们依旧回到直线和圆相切的概念中,当d=r时,显然点P在圆上,连接OP就得到半径,那如何让OP也成为d呢?继续从概念入手,d是指圆心到直线的距离,距离,顾名思义,是一条垂线段,即直线与OP垂直,这就找到突破口了,过点P作OP的垂线,得到结果。可见没有半径OP的辅助,作图误差会大大增加。

这实质上也是下节课要进行的一项活动,提前预演,让学生多思考概念间的联系,也有一定帮助。

在练习环节,完成教材上的习题之后,增加了两道题,分别如下:

数学直线与圆的位置关系教学设计(直线和圆的位置关系)(10)

数学直线与圆的位置关系教学设计(直线和圆的位置关系)(11)

严格来讲,第一道题叙述上还存在一点小漏洞,即OE是否垂直于CD,需要说明,毕竟学生此时还没有学习切线定理。

这道题主要目的是让学生经历直线和圆相切,可以从两个方向分别相切,学会以后遇到类似问题,要分情况讨论;

第二道题含参数k,利用了含30°角的直角三角形的三边数量关系,后期可进一步改编为三角函数相关综合题。

课堂小结中,再次回顾本节课涉及到的概念如割线、切线、切点等,强调数学概念的记忆,不是背诵,而是做到脑中有图。

二、教学反思

作为直线与圆的位置关系的第一课时,重点是理解这种位置关系,会判断,能识图。三个基本元素给出其中两个,能根据需要判断不同的位置关系,这个部分的习题,再怎么变化,都在这个框架内。

在第2课时中,引入就相对容易得多,由于第1课时已经作过圆的切线,并且从几何直观上有初步的认知,现在到了该“知其所以然”的时候,在深入思考的过程中,展开第2课时的教学。

在第1课时的作业中,反映出来学生能够将比较d与r作为判断位置关系的依据,出现的错误主要存在于辨识d与r,这又涉及到前面圆的基本概念关于半径的描述:一个端点在圆心,另一个端点在圆上的线段,以及距离的描述。

从作业中反馈出来,学生对距离的认知层次上,最容易判断的是两点之间的距离,较难判断的是点到直线的距离。毕竟作垂线段,要求比连两点,操作上会多一点。

在作圆的切线时,第1课时要求并不多,通常情况下,学生拿直尺比一下,观察到只有一个公共点,就作出了切线,但这种作图经不起深究,所以设计问题,留下“隐患”下节课来解决,只有进一步学习了切线相关定理,才会返回来重新认识拿“直尺比一下”操作背后的数学原理,由知其然,到知其所以然。

本课结束时,学生能更进一步认知到,直线和圆的位置关系,可以用公共点个数来区分,同样也可以用d和r的数量关系来区分,那么教学目标已经圆满实现了。

爱数学做数学

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