猫耳朵定理（猫爪定理之七）

题目为：

已知：如图，△ABC中,AB=AC,D,E,F在三边BC,CA,AB上且DFAE为平行四边形。圆ABC,圆AEF交于A,G,DE交圆AEF于K。M,L在圆AEF,ABC上且LG⊥GK,MG⊥CG.P,Q为△DGL,△DGM外心。

求证：A,G,P,Q共圆。（2018年中国国家队选拔考试4-3）

思路分析：

此题显然是前面的问题的进一步深化，

此图形结构我还是比较熟悉的。所以

基本思路是

首先按顺序作出准确图形，

并了解各个元素的生成过程。

然后分析图形的基本性质，

设△ABC,△EF外心为O,O',

AD中点为H,

在前面结论的基础上，可以得到：

1、O在圆O'上且为EF弧的中点，故

O'HO共线且为EF中垂线；

2、EF为DG中垂线，从而P,Q,H均在EF上；

3、GAEF为等腰梯形；

4、OP为GL中垂线，O'Q为GM中垂线；

其次我们从结果入手开始分析，

由前面结论得到GAQP为梯形，

故欲证GAQP四点共圆，

即证GAQP为等腰梯形，

即证HP=HQ即可。

图形还是比较复杂的，看起来没有头绪。

下面我们希望能充分利用已知条件，

通过消点简化图形。

此题中最关键的显然是描述清楚Q、P。

已得Q、P在EF上，还需要一个条件。

图形中最“讨厌”的显然是点M、L，

由他们才能确定圆心Q、P，

由LG⊥GK及OP⊥GL知OP//KG,

这样我们就能通过OP//KG确定P，就能消去点L了，

同理O'Q//CG,这样就能消去心腹大患——点M、L了，

这个思路应该是有希望的，从而我们

消去M、L得到下图。

这样一来本题转化为：

已知：如图，AB=AC,D,E,F在三边上且DFAE为平行四边形。

H为AD中点，O,O'为△ABC,△AEF外心，

P,Q在EF上，且O'Q//CG,OP//GK,

求证HP=HQ。

下面的思路当然是“得寸进尺”，

希望能利用条件中的O'Q//CG及OP//GK,

进一步消去点P、Q。从而继续简化图形。

自然的思路是将HP=HQ转化为∠OPH和∠O'QH之间的关系。

设EF交GC,GK于T、S，显然

HP=HQ

<=>tan∠OPH/tan∠O'QH=HO/HO'

<=>tan∠GSN/tan∠GTN=HO/HO'

这样就能如愿的消去P、Q得到下图，

在此图中，

我们只需证明tan∠GSN/tan∠GTN=HO/HO'，

连接O’E,OE,

显然HO/HO'=tan∠EO'H/tan∠HOE，

从而需证

tan∠GSN/tan∠GTN=tan∠EO'H/tan∠HOE,

最好得结果是比例中的两对角能对应相等。

这确实是可以通过倒角证明的。

这是因为

∠GSN=∠AGK=∠KEC=∠A=∠EO'H,

而∠GTN=∠AGC=∠ABC=90°-0.5∠A=∠EOH,

从而成立。

这样我们就通过消点法，先消去M、L，再消去P、Q，

最后通过倒角及简答的计算完成了最终证明。

下面我们将上述证明整理出来，将其中的跳步补上，

并只用倒角、全等、相似等基本知识证明清楚其中的关系。

叙述如下：

证明：

设△ABC,△EF外心为O,O',AD中点为H,

依题意显然△OAB≅△OCA,

又BF/FA=BD/DC=AE/EC,

则F、E为全等对应点，

故∠BFO=∠AEO,

则AFOE共圆，

故O在圆O'上且为EF弧的中点。

则O'HO共线且为EF中垂线；

又OO'⊥AG,

则GAEF为等腰梯形。

则GF=AE=DF且GE=AF=ED,

故EF为DG中垂线，

从而P,Q,H均在EF上；

又由LG⊥GK及OP为GL中垂线，

知OP//GK，

同理O'Q//CG。

则∠HPO=∠GSN=∠AGK=∠KEC=∠BAC=∠EO'H,

∠O'QH=∠GTN=∠AGC=∠ABC

=90°-∠BAO=90°-∠HEO=∠EOH,

故tan∠HPO/tan∠O'QH=tan∠EO'H/tan∠EOH

即HO/HP*HO'/HQ=HO/HO',

故HP=HQ，

故GAQP为等腰梯形，

则GAQP共圆。

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