求圆周率公式的小技巧（圆周率怎么计算来的）

在古代，缺少数学技巧的情况下，圆周率的计算是相当困难的，我们国家伟大的数学家，天文学家祖冲之（429-500，字文远），利用复杂的割圆术，将圆周率的计算精确到小数点第七位，这是已经是相当了不起的成就了，直到1000年后才被阿拉伯数学家阿尔·卡西才打破纪录。

我国古代杰出数学家祖冲之

在牛顿-莱布尼茨发明微积分之后，计算圆周率的巧妙办法更多了，后来虚数的使用，提供了更多巧妙的办法，看到在众多计算圆周的公式，大家是不是很纳闷，那些复杂的公式，数学家是怎么找到的呢？

今天，我就和大家分享一个，利用虚数，求圆周率的万能方法，我们的推导过程，都是初等数学知识。

首先，我们需要漂亮的欧拉恒等式：

欧拉恒等式

然后我们很容易得到：

欧拉恒等式变换后的结果

这个奇怪的恒等式，就是我们生成圆周率级数的万能公式，因为右边的虚数，我们有巧妙的办法转换成无穷级数。

不过你需要拿出一个基础的泰勒级数：

对数的泰勒级数展开式

这个泰勒级数，自变量取复数单位±i，你尽管放心大胆去用。

对数级数赋值

然后我们就可以利用虚数的性质，尽情地操弄数学技巧了，比如lni=ln［（1 i）/（1-i）］=ln（1 i）-ln（1-i），

立马就有：

莱布尼茨级数

这个级数，就是著名的莱布尼兹级数，莱布尼兹在1674年用其他其他非常复杂的办法得到了它，但是用这个级数求圆周率效率太低，因为收敛速度实在太慢了。

我们依葫芦画瓢，再来变换：

对虚数i进行变换

利用同样的技巧后，带入对数级数，立马得到：

圆周率级数

而这个级数收敛相当快，你只要取前四项，就能得到和祖冲之一样的精度。

这个技巧屡试不爽，如果你把前面的2和3，换成5和-239，然后5 i取4次方，就可以得到另外一个收敛非常快的著名公式——梅钦公式，梅钦公式至今仍然是计算机计算圆周率的重要公式之一。

利用梅钦公式，就算手算，你也可以轻松地把圆周率精确到50位；至于如何分解，全在于你对虚数单位i的处理，这样的处理方式有无数个，你得到的圆周率级数也就有无数个，它们的收敛速度不尽相同，不过大家在处理这种正负交错的级数时，要特别小心了，因为条件收敛级数的“炸弹”很多的呢。

圆周率By艾伯史密斯

看到这里，你有没有觉得虚数居然有如此强大的功能，我们随便处理一下，就能得到不同的圆周率级数，是不是相当有趣呢！其实，关于虚数的应用，还有很多，利用上面的技巧，你能构造其他计算π的级数吗？欢迎留言告诉我们！

好啦！今天就和大家分享到这里，虚数是非常有趣且强大的数学工具，有兴趣的读者朋友记得关注我们，我们会分享更多有趣的数学知识。

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