复数的几何意义及解题方法（周末消遣聊数学）

来源：算法与数学之美

看得懂的复数--溯源复数的物理意义

上几天在群内，网友“南方的风”在咨询信号系统问题，涉及到离散傅立叶变换复数问题。我因为之前写过“看得懂的傅立叶变换”，大家希望我解答一下。

说实在，我虽然对于傅立叶变换的物理意义比较了解，也能自己根据自己的感性理解可以推导出公司，但对于复杂的一些比如离散傅立叶等，却没有仔细分析过，因为用不着。

群内大部分网友都认为这个东西，就是一顿数学的推导，用matlab套用公式做几个例子就差不多了，至于很详细的，尤其是感性的理解，完全没有。

对于他的问题，我无法直接回答，但是，关于傅立叶变换本身不复杂，但引入了复数之后，因为大家对复数的物理意义都不懂，最后都是属于理性的公式推导，但最后的结果的物理意义是什么，大家却都不明白，只知道一堆的数学公式，这个是一种本末导致，所以我认为有必要先搞明白复数的物理意义，只有看得懂复数，有它的感性认识，那么基于它的推理才可能有感性，深刻的认识。

这根数轴的正向部分，可以绕原点旋转。显然，逆时针旋转180度， 1就会变成-1。

这相当于两次逆时针旋转90度。

因此，我们可以得到下面的关系式：

( 1) * (逆时针旋转90度) * (逆时针旋转90度) = (-1)

如果把 1消去，这个式子就变为：

(逆时针旋转90度)^2 = (-1)

将"逆时针旋转90度"记为 i ：

i^2 = (-1)

这个式子很眼熟，它就是虚数的定义公式。

所以，我们可以知道，虚数 i 就是逆时针旋转90度，i 不是一个数，而是一个旋转量。

二、复数的定义

既然 i 表示旋转量，我们就可以用 i ，表示任何实数的旋转状态。

将实数轴看作横轴，虚数轴看作纵轴，就构成了一个二维平面。旋转到某一个角度的任何正实数，必然唯一对应这个平面中的某个点。

只要确定横坐标和纵坐标，比如( 1 , i )，就可以确定某个实数的旋转量（45度）。

数学家用一种特殊的表示方法，表示这个二维坐标：用 号把横坐标和纵坐标连接起来。比如，把 ( 1 , i ) 表示成 1 i 。这种表示方法就叫做复数（complex number），其中 1 称为实数部，i 称为虚数部。

为什么要把二维坐标表示成这样呢，下一节告诉你原因。

三、虚数的作用：加法

虚数的引入，大大方便了涉及到旋转的计算。

比如，物理学需要计算"力的合成"。假定一个力是 3 i ，另一个力是 1 3i ，请问它们的合成力是多少？

根据"平行四边形法则"，你马上得到，合成力就是 ( 3 i ) ( 1 3i ) = ( 4 4i )。

这就是虚数加法的物理意义。

四、虚数的作用：乘法

如果涉及到旋转角度的改变，处理起来更方便。

比如，一条船的航向是 3 4i 。

如果该船的航向，逆时针增加45度，请问新航向是多少？

45度的航向就是 1 i 。计算新航向，只要把这两个航向 3 4i 与 1 i 相乘就可以了（原因在下一节解释）：

( 3 4i ) * ( 1 i ) = ( -1 7i )

所以，该船的新航向是 -1 7i 。

如果航向逆时针增加90度，就更简单了。因为90度的航向就是 i ，所以新航向等于：

( 3 4i ) * i = ( -4 3i )

这就是虚数乘法的物理意义：改变旋转角度。

五、虚数乘法的数学证明

为什么一个复数改变旋转角度，只要做乘法就可以了？

下面就是它的数学证明，实际上很简单。

任何复数 a bi，都可以改写成旋转半径 r 与横轴夹角 θ 的形式。

假定现有两个复数 a bi 和 c di，可以将它们改写如下：

a bi = r1 * ( cosα isinα )

c di = r2 * ( cosβ isinβ )

这两个复数相乘，( a bi )( c di ) 就相当于

r1 * r2 * ( cosα isinα ) * ( cosβ isinβ )

展开后面的乘式，得到

cosα * cosβ - sinα * sinβ i( cosα * sinβ sinα * cosβ )

根据三角函数公式，上面的式子就等于

cos(α β) isin(α β)

所以，

( a bi )( c di )　＝　r1 * r2 * ( cos(α β) isin(α β) )

这就证明了，两个复数相乘，就等于旋转半径相乘、旋转角度相加。

（完）

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