三角形等分线段定理（初中几何求线段长-三角形角平分线模型基本线段比例关系）

三角形的角平分线存在的比例关系如下图，△ABC中，∠1=∠2，则有AC/AB=CD/DB

图 1

下面给出证明，过B点作AC平行线，交AD延长线与点E，则由AC//BE，得到内错角相等，从而三角形相似，得到AC/BE=CD/BD，再由∠1=∠2得到AB=BE，替换得到结论。

下面通过例题利用这个结论，如下图 在△ABC中，AB=3，AC=2, ∠BAC=60º, ∠1=∠2，求线段AD的长度.

图 2

题目中有一些特殊角，角平分线模型中存在等腰三角形和相似三角形的比例关系，AD刚好是其中一个三角形的一条边，做辅助线：过B点作AC平行线，交AD延长线与点E，过B作BF垂直于AE于F，如下图：

图 3

两个三角形相似，我们知道AD/DE=AC/BE=AC/AB=2/3, AE是顶角120º腰长为3的底边，所以AE=2ABsin60º= ，AD/AE=2/5, 所以AD=/5.

面积法 这道题还可以利用面积方法，角平分线上的点到这个角两边的距离相等，如下图：

图 4

设AD=X，则ED=FD=X/2, S△ABC=S△ADB S△ADC,即(1/2)×AB×AC=(1/2)×AB×ED (1/2)×AC×FD;经计算求得X=/5, 这里在求S△ABC时，三角形的面积等于任意两边的长度和他们夹角正弦乘积的一半，在求三角形面积时，根据已知条件，灵活运用各个公式，使问题简化