圆锥曲线的切点弦方程公式推导（圆锥曲线切点弦性质及方程的推导和例题解析）

前面几篇文章，我们讨论了不少关于圆锥曲线的知识。本文主要讨论过圆锥曲线外某一点作曲线的切线，那么两切点的连线方程，即切点弦方程结论及其推导。

一、圆锥曲线切点弦方程

设点P（x0，y0）为圆锥曲线外某一点，那么两切点连线方程可以表示为：

二、过圆锥曲线外任一点作曲线的切线，两切点连线方程推导

以圆为例：设圆外点P(x0，y0)，圆的方程为x2＋y2＝r2，两切点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，求两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2。

证明：方法一（通用）

∵A，B在圆上，所以过A，B两点的切线方程为x1x＋y1y＝r2和x2x＋y2y＝r2．又P在两切线的交点上，所以有

∴点A，B的坐标适合方程x0x＋y0y＝r2，

∴两切点所在的直线方程为x0x＋y0y＝r2．

方法二（仅对圆）

两切点、圆心(0，0)、点P四点共圆，

那么该圆的方程为x(x－x0)＋y(y－y0)＝0(直径端点式方程)，

又∵直线AB为两圆的公共弦，

∴两圆方程相减得AB方程为x0x＋y0y＝r2．

三、例题解析

例1、性质1：过椭圆（双曲线、抛物线）的准线与其长（实）轴所在直线的交点作椭圆（双曲线、抛物线）的两条切线，则切点弦长等于该椭圆（双曲线、抛物线）的通经。（证明略）

例2、性质2：以抛物线为例求证过抛物线（椭圆、双曲线）的焦点F的直线交抛物线（椭圆、双曲线）于A、B两点，过A、B两点作抛物线（椭圆、双曲线）的切线交于点P，则有（1）P点的轨迹是焦点F的对应的准线，（2）PF⊥AB

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