线性微分方程不同情形下的通解（微分方程的意义）

本文既可作为老少皆宜的休闲文章来看，也可作为本科生速成期末考试的灵丹妙药（笑）

庞加莱

我们接着讲微分方程，今天的主要内容是换元法，换元法就是用一种变量替换掉原来的变量，从而达到化简问题的目的。

上一讲我们讲了微分方程得基础知识，想必大家已经清楚了求解，通解，特解之间的关系。今天我们来看这样一个问题：

我们要做的事情还是把这个等式化成函数：

不过这次我并不想让大家直接去算，我们以dy/dx(y')为高度轴，x和y（f（x））分别为变量建立一个三维坐标系，我想让大家体会一下微分方程为什么被称为微分方程：

z轴的物理意义是导数，x，f（x）轴各自独立变化

这个图反映的是导数y’和x，f（x）之间的变化关系，然而y和x之间依然存在其它的内在联系。它只能解析一部分信息，甚至里面的很多信息并不存在。

理解了这一点，大家就明白了求解微分方程的必要性，那就是让事情直观起来。

我们知道：

原式化简为：

合并同类项，可得：

我们说

c为任意常数

就是原方程的通解，它是一簇曲线。

C随便取一个具体的数，叫原方程的特解。

这是一个什么样的曲线簇呢？（我只画一个特解给大家看看样子）

可以说，我们把复杂的多变量函数简化成了简单的单变量函数：

理解了上面那个问题，我们再来看一个微分方程：

你不觉得这个微分方程很有趣吗？

我们依然以dy/dx(y')为高度轴，x和y（f（x））分别为变量建立一个三维坐标系：

z轴的物理意义是导数，x，f（x）轴各自独立变化

这个图反映的还是导数y’和x，f（x）之间的变化关系，然而y和x之间依然存在其它的内在联系。它只能解析一部分信息，甚至里面的很多信息并不存在。

好了，现在我们来计算它的解析解：

原式可以变形为这样，

大家看看，前人是多么有智慧啊，我们虽然学的来知识，却学不来智慧：

整理可以得到：

对上面这个公式两边同时积分：

把u换成x y，可得：

算到这里，我们似乎难以继续往下算了，它是隐函数，就是说y包含在了x和y的同时变化里，想把这个等式化成y=f（x）是非常困难的。

我们就用软件看看这个函数长什么样子吧:

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