三角函数一定要记住重要结论(三角函数的重要公式)

#创作挑战赛#

高中数学基础知识非常重要,但是有一些题目却不一定要用到这些基础知识,而是可以选择更简便的方法,特别常见于选择题。比如下面这道2022年新高考数学全国卷II,关于三角函数公式的选择题。当然可以利用几个常用的三角函数公式来解决,但也可以绕开这些公式,解决起来会更简便。

三角函数一定要记住重要结论(三角函数的重要公式)(1)

若sin(α β) cos(α β)=2√2cos(α π/4)sinβ, 则

A. tan(α β)=-1;B. tan(α β)=1;C. tan(α-β)=-1;D. tan(α-β)=1.

分析:这道题当然是有速解的方法的,但是老黄担心你听完速解的方法,就不管一般的方法了,所以决定先讲一般的解法,基础扎实才是王道啊。

一个角的正弦与余弦的和,可以化为这个角与四分之π的和的正弦函数的√2倍,这个公式一定要记牢哦。

三角函数一定要记住重要结论(三角函数的重要公式)(2)

如果是sina cosa=√2sin(a π/4)的形式,可能更多人容易接受,但这里的角却是“α β”,有些小伙伴可能就会适应不了了。

然后把等式右边的正弦看作两角和的正弦,一个角是α π/4,另一个角是β。运用“和的正弦公式”展开,就可以得到√2sin(α π/4)cosβ √2cos(α π/4)sinβ=2√2cos(α π/4)sinβ.

三角函数一定要记住重要结论(三角函数的重要公式)(3)

现在等式两边有同类项,进行移项合并,并且可以选择约掉系数√2,得到:sin(α π/4)cosβ-cos(α π/4)sinβ=0.

三角函数一定要记住重要结论(三角函数的重要公式)(4)

不过留着√2也不是没用的。现在运用两角差的正弦公式的逆公式,可以得到sin(α-β π/4)=0.

三角函数一定要记住重要结论(三角函数的重要公式)(5)

观察这个式子,有没有发现,它是第一步的一个逆过程,即可以转化为同一个角的正弦和余弦的和的形式,只不过这次这个角变成了“α-β”,而不是“α β”了。

即sin(α-β) cos(α-β)=0,从而可知,α-β的正弦和余弦互为相反数。因此有tan(α-β)=sin(α-β)/cos(α-β)=-1, 选C.

整个解题过程其实是对称的,感觉还是相当解压的。不过这种解法很容易引来网友的吐槽,因为聪明的人太多,他们一眼就能看出,老黄的这个解法太过拖沓。只要运用“特值法”,这道题就可以轻松地解决。聪明人是不会为老黄这样的笨人考虑一下的。下面老黄就给有需要的小伙伴们介绍速解的方法。

只要取β=0,那么就有sinα cosα=0, 再取α=-π/4, 从而tan(α β)=-1,tan(α-β)=-1;,这样就可以排除B、D选项。但却不能肯定C是正确的。因为想要否定一件事情,只需一个特例就足够了。但想要证明一件事情,一个特例却并不足够。

其中β是任取的,只要取一个适合运算的值就可以了,而α并不是任取的,因为一个周期内,有两个α满足正弦和余弦相反的条件。从而在每个周期中都有符合条件的α,这样的α有无穷个,我们只要取一个符合条件,且方便我们运算的就可以了。

再取α=0,同样是任取的。那么就有sinβ cosβ=2sinβ, 可化得sinβ=cosβ,从而可以在无数个满足条件的β中取β=π/4, 则tan(α β)=1,排除A. 选C. 虽然理论上我们并没有证明C是正确的,但也没有确定它是错误的。而A,B,D已经确定错误,除非题目没有正确的选项,否则就只能选C。

严格来说,这种方法不能称为简便解法,因为它其实是不严谨的。实际上它是探究问题的一种方法,但一般只是探究问题整个过程中的一个部分,在考试中可以用来解决选择或填空等小题,不能当作一种完整严谨的解法。你怎么看呢?

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